Các vấn đề đồ thị cứng có thể giải quyết được

25

Trước kết quả gần đây của Arora, Barak và Steurer, Thuật toán phụ cho các trò chơi độc đáo và các vấn đề liên quan , tôi quan tâm đến các vấn đề đồ thị có thuật toán thời gian phụ nhưng được cho là không thể giải quyết được bằng đa thức. Một ví dụ nổi tiếng là đẳng cấu đồ thị có thuật toán phụ là thời gian chạy. Một ví dụ khác là vấn đề log-Clique có thể giải quyết được trong thời gian đa thức ( ). $2^{O(n^{1/2} \log n)}$ $n^{O(\log n)}$

Tôi đang tìm kiếm các ví dụ thú vị và tốt nhất là tham khảo các khảo sát về các vấn đề đồ thị cứng phụ (không nhất thiết phải là -complete). Ngoài ra, có bất kỳ vấn đề đồ thị -complete nào với các thuật toán thời gian phụ không? $NP$ $NP$

Impagliazzo, Paturi và Zane đã chỉ ra rằng Giả thuyết Thời gian theo hàm mũ ngụ ý rằng Clique, k-Colorability và Vertex Cover cần thời gian . $2^{\Omega(n)}$

cc.complexity-theory reference-request

— Mohammad Al-Turkistany
nguồn

2

Chỉ để hoàn thiện: log-CLIQUE =

{(G, k) | G has n vertices, k = \log n and G has a clique of size k}

$\{(G, k) | G \text{ has }n\text{ vertices, }k = \log n\text{ and }G\text{ has a clique of size }k\}$

— MS Dousti

20

Bằng cách này, vấn đề Max Clique, nói chung, có thể được giải quyết trong thời gian trong đó là kích thước của đầu vào. $2^{\tilde O(\sqrt N)}$ $N$

Điều này là không đáng kể nếu đồ thị được biểu diễn thông qua ma trận kề, bởi vì sau đó , và một tìm kiếm vũ lực sẽ mất thời gian . $N=|V|^2$ $2^{O(|V|)}$

Nhưng chúng ta có thể có cùng một ràng buộc ngay cả khi biểu đồ được biểu thị bằng các danh sách kề, thông qua thuật toán thời gian chạy . Để xem cách làm, hãy lấy thuật toán thời gian cho bài toán quyết định hoàn thành NP trong đó chúng ta được đưa ra một biểu đồ và và chúng tôi muốn biết liệu có một cụm kích thước . $2^{\tilde O(\sqrt{|V| + |E|})}$ $2^{\tilde O(\sqrt{|V| + |E|})}$ $G=(V,E)$ $k$ $\geq k$

Thuật toán đơn giản loại bỏ tất cả các đỉnh của độ và các cạnh sự cố trên chúng, sau đó thực hiện nó một lần nữa, và như vậy, cho đến khi chúng tôi là trái với một đồ thị con đỉnh gây ra trên một tập hợp con đỉnh, mỗi độ , hoặc với một biểu đồ trống. Trong trường hợp sau, chúng ta biết rằng không có cụm kích thước có thể tồn tại. Trong trường hợp trước, chúng tôi thực hiện một tìm kiếm vũ phu chạy trong thời gian đại khái . Lưu ý rằng và $< k$ $V'$ $\geq k$ $\geq k$ $|V'|^k$ $|E| \geq k\cdot |V'| /2$ , vậy đó , và do đó, một tìm kiếm brute-force chạy trong thời gian là thực sự chạy trong thời gian $k\leq |V'|$ $|E| \geq k^2/2$ $|V'|^k$ . $2^{O(\sqrt{|E|} \cdot \log |V|)}$

— Luca Trevisan
nguồn

12

Thật vậy, vì những lý do này Impagliazzo, Paturi và Zane lập luận rằng khi hỏi về độ phức tạp

so với

bạn cần đặt

là kích thước của nhân chứng (mà bạn cần xác định là một phần của vấn đề). Trong trường hợp

-clique, nhân chứng có kích thước

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

n

$n$

k

$k$

đối với

nhỏ, trong khi, như bạn nói, bạn có thể giả sử wlog có ít nhất

cạnh và kích thước đầu vào lớn hơn nhiều so với kích thước nhân chứng.

\log (\binom{| V |}{k}) \sim k \log | V |

$\log \binom{|V|}{k} \sim k\log |V|$

k

$k$

k | V |

$k|V|$

— Boaz Barak

22

Vì mỗi đồ thị phẳng trên đỉnh có treewidth $n$ , tất cả các vấn đề có thể giải quyết được trong thời gianđối với đồ thị của treewidth nhiều nhất ~(có RẤT NHIỀU vấn đề như vậy) có thuật toán thời gian phụ trên đồ thị phẳng bằng cách tính hệ số không đổi xấp xỉ với treewidth trong thời gian đa thức (ví dụ bằng cách tính toán branchwidth với các thuật toán nghề bắt chuột) và sau đó chạy các thuật toán treewidth, dẫn đến runtimes có dạng $O(\sqrt{n})$ $O^*(2^{O(k)})$ $k$ cho đồ thị trênđỉnh. Ví dụ như Bộ độc lập Planar và Bộ thống trị phẳng, tất nhiên là NP-đầy đủ. $O^*(2^{O(\sqrt{n})})$ $n$

— Bart Jansen
nguồn

15

Có một mối liên hệ chặt chẽ giữa khả năng thanh toán theo thời gian theo cấp số nhân (SUBEPT) và khả năng chuyển đổi tham số cố định (FPT). Liên kết giữa chúng được cung cấp trong bài báo sau.

Một sự đồng hình giữa lý thuyết phức tạp phụ và tham số hóa , Yijia Chen và Martin Grohe, 2006.

Nói tóm lại, họ đã giới thiệu một khái niệm gọi là lập bản đồ thu nhỏ , mà bản đồ là một vấn đề tham số vào một vấn đề tham số . Bằng cách xem một vấn đề bình thường là một vấn đề được tham số hóa bởi kích thước đầu vào, chúng tôi có kết nối sau. (Xem định lý 16 trong bài báo) $(P,\nu)$ $(Q,\kappa)$

Định lý . là trong SUBEPT iff là ở FPT. $(P,\nu)$ $(Q,\kappa)$

Hãy cẩn thận với các định nghĩa ở đây. Thông thường chúng ta xem vấn đề -clique là tham số hóa trong , do đó không có thuật toán thời gian theo cấp số nhân cho giả định giả thuyết thời gian theo hàm mũ. Nhưng ở đây chúng ta để cho vấn đề được tham số của đầu vào kích thước , do đó vấn đề có thể được giải quyết trong $k$ $k$ $O(m+n)$ , là một thuật toán thời gian theo cấp số nhân. Và định lý cho chúng ta biết rằng bài toán-clique là tham số cố định có thể điều chỉnh được theo một số vòng xoắn của tham số, điều này là hợp lý. $2^{O(\sqrt{m}\log m)}$ $k$ $k$

Nói chung, các vấn đề trong SUBEPT theo SERF - giảm (các gia đình giảm theo cấp số nhân) có thể được chuyển thành các vấn đề trong FPT theo mức giảm của FPT. (Định lý 20 trong bài báo) Hơn nữa, các kết nối thậm chí còn mạnh hơn vì chúng cung cấp một định lý đẳng cấu giữa toàn bộ hệ thống các vấn đề trong lý thuyết phức tạp theo thời gian theo hàm mũ và lý thuyết phức tạp tham số hóa. (Định lý 25 và 47) Mặc dù sự đẳng cấu không hoàn chỉnh (có một số liên kết bị thiếu giữa chúng), nhưng vẫn rất tốt để có một bức tranh rõ ràng về các vấn đề này và chúng ta có thể nghiên cứu các thuật toán thời gian theo cấp số mũ thông qua độ phức tạp tham số.

Xem khảo sát của Jörg Flum và Martin Grohe, cùng với Jacobo Torán, biên tập viên của cột phức tạp, để biết thêm thông tin.

— Hsien-Chih Chang 張顯
nguồn

Vâng. btw, Flum và Grohe đã viết khảo sát; Toran là trình soạn thảo Cột phức tạp.

— Andy Drucker

@Andy: Cảm ơn bạn đã sửa chữa. Tôi sẽ sửa đổi bài viết cho phù hợp.

— Hsien-Chih Chang 張顯

12

một ví dụ khác có thể là trò chơi Cop và Robber, trò chơi NP-hard nhưng có thể giải quyết được trong thời gian trên các biểu đồ có n đỉnh. Bản ghi thư mục BibTeX trong XML Fedor V. Fomin, Petr A. Golovach, Jan Kratochvíl, Nicolas Nisse, Karol suchan: Theo đuổi một tên cướp nhanh trên đồ thị. Lý thuyết. Tính toán. Khoa học 411 (7-9): 1167-1181 (2010) $2^{o(n)}$

— XXYYXX
nguồn

3

Rất tiếc, điều này có thể đáng xấu hổ, nhưng tôi đã có một thời gian dài tin rằng các vấn đề

-hard không có thuật toán thời gian theo cấp số nhân, chỉ vì Giả thuyết Thời gian theo cấp số nhân. :(

N P

$\mathsf{NP}$

— Hsien-Chih Chang 張顯

6

Không xấu hổ ... nhưng, một trong những cách dễ dàng để thấy điều này là không đúng sự thật là thực hiện bất kỳ

ngôn ngữ -Hard

, và sau đó tạo thành một 'đệm' phiên bản

trong đó các trường hợp 'có' có dạng

, với

, đối với một số

cố định . Khi đó

là

N P

$NP$

L \in N P T I M E (n^{k})

$L \in NPTIME(n^k)$

L^{'}

$L'$

(x, 1^{| x |^{c}})

$(x, 1^{|x|^c})$

x \in L

$x \in L$

c > k

$c > k$

L^{'}

$L'$

N P

$NP$ , nhưng có một thuật toán xác định chạy trong thời gian về cơ bản là

.

2^{n^{k / c}}

$2^{n^{k/c}}$

— Andy Drucker

7

Thuật toán xấp xỉ tốt nhất cho clique đưa ra một yếu tố xấp xỉ xấu không thể tin được (nhắc lại rằng hệ số gần đúng của là tầm thường). $n/\text{polylog } n$ $n$

$n^{1-o(1)}$ $n/\text{polylog } n$

$n/\text{polylog } n$

Một bài toán NP-hard là một bài toán có thời gian đa thức giảm từ SAT. Thậm chí nếu SAT cần thời gian , điều này có thể dịch để thời gian $2^{\Omega(n)}$ $2^{\Omega(N^\epsilon)}$ $N=n^{1/\epsilon}$ $\epsilon$

— Dana Moshkovitz
nguồn