Sụp đổ theo giả định rằng

Được biết, nếu sau đó hệ thống cấp bậc đa thức sụp đổ để Σ P 2 và M Một = Một M .$NP\subseteq P/Poly$$\Sigma_2^{P}$$MA = AM$

Sụp đổ mạnh nhất được biết đến xảy ra nếu là gì ?$NEXP\subseteq P/Poly$

Tôi tin mạnh nhất là . Điều này đã được chứng minh bởi Impagliazzo Kabanets và Wigderson.$NEXP = MA$

Xem https://scholar.google.com/scholar?cluster=17275091615053693892&hl=en&as_sdt=0,5&sciodt=0,5

Tôi cũng muốn biết về bất kỳ sự sụp đổ mạnh mẽ hơn này.

Chỉnh sửa (8/24): OK, tôi nghĩ về một số sự sụp đổ mạnh mẽ hơn, về cơ bản xuất phát từ các bằng chứng của bài báo được liên kết ở trên. Bởi vì ngụ ý N E X P = E X P (xem liên kết ở trên), và E X P được đóng dưới bổ sung, chúng tôi cũng có N E X P đóng dưới bổ sung và do đó N E X P = M A ∩ c o M $NEXP \subset P/poly$$NEXP = EXP$$EXP$$NEXP$$NEXP = MA \cap coMA$, đó là một chút mạnh mẽ hơn. Thật vậy, giả thuyết ngụ ý rằng đối với bất kỳ ngôn ngữ, một đơn chuỗi chứng w n có thể được sử dụng trong giao thức MA tương ứng cho tất cả YES-trường hợp của bất kỳ chiều dài cho n , vì vậy cũng N E X P = O M A ∩ c o O M A (trong đó O M A = "MA lãng quên", xem Fortnow-Santhanam-me http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/doad?doi=10.1.1.156.3018&rep=rep1&type=pdf$NEXP$$w_n$$n$$NEXP = OMA \cap coOMA$$OMA$). Các thuộc tính bổ sung này, trong khi về mặt kỹ thuật, có thể chứng minh là hữu ích trong một số đối số ràng buộc thấp hơn của mạch.

Chỉnh sửa 2: Có vẻ như Andrew Morgan đã làm nổi bật điều này rồi. Rất tiếc :)

Toàn bộ rất nhiều điều thú vị xảy ra. Hầu hết những cái tôi biết bắt đầu với giấy IKW . Ở đó, sự sụp đổ $\textrm{NEXP} = \textrm{MA}$ được hiển thị và (tôi nghĩ) là sự sụp đổ theo nghĩa đen mạnh nhất của các lớp phức tạp mà chúng ta biết. Có nhiều loại "sụp đổ" khác mà tôi nghĩ nên được chỉ ra.

Quan trọng nhất, tôi nghĩ, là tài sản "nhân chứng cô đọng phổ quát" (cũng từ tài liệu IKW). Đối với một, nó cung cấp cho bạn một công cụ mà từ đó nhiều sự sụp đổ khác là hậu quả đơn giản; đối với người khác, giới hạn mạch gần đây (ví dụ ở đây và ở đây ) cho $\textsf{NEXP}$ khai thác kết nối này. Tóm lại, bất động sản nói rằng, đối với mỗi $\textsf{NEXP}$ ngôn ngữ $L$ , và bất kỳ $\textsf{NEXP}$ -machine $M$ quyết định $L$ , mỗi $x \in L$ có một cách ngắn gọn mô tả được chứng theo $M$ . Chính thức, có một $p$ đa thức tùy thuộc vào$M$ sao cho với mỗi$x \in L$ , có một mạch$C_x$ có kích thước$p(|x|)$ sao cho bảng chân lý của$C_x$ là một chuỗi các lựa chọn không xác định cho$M$ dẫn đến chấp nhận đầu vào$x$ .

Sự cô đọng của các nhân chứng có ích, bởi vì bạn có thể trực tiếp làm lại rất nhiều sự sụp đổ khác từ nó. Chẳng hạn, nó theo sau một cách tầm thường rằng $\textsf{NEXP} = \textsf{coNEXP} = \textsf{EXP}$ . Ví dụ, giả sử $L$ là trong $\textsf{NEXP}$ qua một $\textsf{NEXP}$ -machine $M$ . Thuộc tính nhân chứng cô đọng nói rằng có một đa thức $p$ để $M$ có các nhân chứng cô đọng có kích thước $p$ . Sau đó, chúng ta có thể quyết định $L$ trong $\textsf{EXP}$ bằng cách, trên đầu vào $x$ , brute-buộc tất cả các mạch có kích thước tối đa $p(|x|)$ và kiểm tra xem chúng có mã hóa một chuỗi các lựa chọn dẫn đến$M$ chấp nhận đầu vào$x$ . Bạn có thể kết hợp điều này với kết quả (đã biết trước đây thông qua bằng chứng tương tác) mà$\textsf{EXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly} \implies \textsf{EXP} = \textsf{MA}$ để kết luận$\textsf{NEXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly} \implies \textsf{NEXP} = \textsf{MA}$ .

Điều đáng nhấn mạnh là chúng ta phải chọn $M$ và do đó là hình thức của các nhân chứng. Ví dụ: bạn thực sự có thể kết luận từ " $\textsf{NEXP}$ có các nhân chứng cô đọng phổ quát" rằng $\textsf{NEXP} = \textsf{OMA} = \textsf{co-OMA}$ . Ở đây $\textsf{OMA}$ là "lãng quên-MA", có nghĩa là có một Merlin trung thực chỉ phụ thuộc vào độ dài đầu vào. Thật dễ dàng để thấy rằng $\textsf{OMA} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly}$ , vì vậy về cơ bản này chỉ là đưa ra một hình thức bình thường trong bao $\textsf{NEXP}$ ngôn ngữ được tính toán trong $\textsf{P}/\textrm{poly}$ theo giả định rằng $\textsf{NEXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly}$ở nơi đầu tiên Đây là một cách để thấy sự sụp đổ của $\textsf{OMA}$ :

Đối với một ngôn ngữ $L \in \mathsf{NEXP}$ quyết định bởi một máy $M$ , xây dựng một $\mathsf{NEXP}$ máy $M'$ như sau. Xem đầu vào $n$ -bit dưới dạng số $N$ trong khoảng từ $1$ đến $2^n$ . Với mỗi $x$ chiều dài $n$ , hãy đoán một nhân chứng $w_x$ và chạy $M(x,w_x)$ để xác minh nó. $M'(N)$chấp nhận khi và chỉ khi $M$ chấp nhận ít nhất $N$ giá trị của $x$ . Các dự đoán được sắp xếp như vậy mà một mô tả ngắn gọn của một nhân chứng cho $M'$ là một mạch $C$ mà tính bản đồ $(x,i) \mapsto$ các $i$ chút -thứ của $w_x$ . Bây giờ giả sử $N$ chính xác là số chuỗi trong $L$ ở độ dài $n$ . Sau đó, nhân chứng ngắn gọn cho $M'$ trên đầu vào $N$ là mạch đồng thời mã hóa tất cả các$M$ nhân chứng 's cho length-$n$ đầu vào. Đặc biệt, nếu$M'$ có nhân chứng gọn gàng, sau đó tất cả các$M$ 'nhân chứng s có thể được mô tả cùng một lúc bởi các mạch tương tự.

Để hoàn thành khiếu nại, chúng tôi sẽ nhớ lại rằng $\textsf{NEXP} = \textsf{PCP}[\textrm{poly}, \textrm{poly}]$ . Đặt $M$ là cỗ máy đoán ra PCP và sau đó mô phỏng xác định trình xác minh, đoạn văn trên cho chúng ta biết sự tồn tại của các PCP có thể mô tả ngắn gọn đồng thời cho mọi ngôn ngữ trong $\textsf{NEXP}$ . Vì vậy, bây giờ để có được $\textsf{NEXP} = \textsf{OMA}$ , chúng tôi có Merlin gửi mô tả ngắn gọn về các PCP cho tất cả các đầu vào của độ dài đầu vào hiện tại, mà Arthur có thể kiểm tra bằng cách chỉ cần cắm đầu vào của mình và sau đó chạy trình xác minh PCP.

[Nhờ Cody Murray để chỉ ra các trick của việc sử dụng các đầu vào để đếm số chuỗi trong $L$ . Trước đây tôi có $M'$ sử dụng rằng nếu $\mathsf{NEXP}\subseteq\mathsf{P/poly}$ sau đó $\mathsf{NEXP}=\mathsf{EXP}$ viết ra bảng sự thật của $L$ , nhưng chiến lược Cody là tao nhã hơn.]

Như một lưu ý cuối cùng, trong khi về mặt kỹ thuật được ngụ ý bởi $\textsf{NEXP}=\textsf{MA}$ , sự sụp đổ $\textsf{NEXP}=\textsf{PSPACE}$ có một hàm ý thú vị khác. Người ta biết rằng $\textsf{PSPACE}$ có một ngôn ngữ hoàn chỉnh, có thể tự giảm xuống cũng như tự giảm ngẫu nhiên. Thông thường, tất cả các ngôn ngữ như vậy đều nằm trong $\textsf{PSPACE}$ và vì vậy chúng tôi không nên hy vọng nói (vô điều kiện) rằng $\textsf{NEXP}$ có ngôn ngữ hoàn chỉnh miễn là chúng tôi hy vọng rằng $\textsf{NEXP} \ne \textsf{PSPACE}$ . Tuy nhiên, nếu $\textsf{NEXP} = \textsf{PSPACE}$ , thì $\textsf{NEXP}$ khôngcó ngôn ngữ hoàn chỉnh như vậy. Một tuyên bố tương tự (thay thế $\textsf{NEXP}$ bằng $\textsf{EXP}$ ) đã được Impagliazzo và Wigderson sử dụng để kết luận một loại "phân đôi phân tách" cho $\textsf{BPP}$ liên quan đến $\textsf{EXP}$ , vì vậy có thể hữu ích trong việc khám phá các hậu quả khác của $\textsf{NEXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly}$ .