Cơ sở không đầy đủ của tổ hợp

Điều này được lấy cảm hứng từ câu hỏi này . Đặt là tập hợp của tất cả các tổ hợp chỉ có hai biến ràng buộc. Là C combinatorially hoàn chỉnh?$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$

Tôi tin rằng câu trả lời là tiêu cực, tuy nhiên tôi không thể tìm thấy tài liệu tham khảo cho việc này. Tôi cũng sẽ quan tâm đến các tài liệu tham khảo về bằng chứng về sự không hoàn chỉnh của tổ hợp các bộ tổ hợp (Tôi có thể thấy tại sao tập hợp gồm các tổ hợp chỉ có một biến ràng buộc là không đầy đủ, vì vậy các tập hợp này phải chứa nhiều hơn chỉ các phần tử của D ).$\mathcal{D}$$\mathcal{D}$

[Mở rộng nhận xét thành một câu trả lời.]

Đầu tiên, chỉ cần làm rõ về việc đếm các biến bị ràng buộc trong một tổ hợp (= thuật ngữ đóng) . Tôi diễn giải câu hỏi khi hỏi về tổng số tên biến bị ràng buộc riêng biệt trong  t để ví dụ thuật ngữ t = ( λ x . X ( λ y . Y ) ) ( λ x . Λ y . Y x ) được tính là có hai biến ràng buộc, mặc dù có bốn chất kết dính (nghĩa là trừu tượng lambda). Cách đếm này ban đầu hơi lạ đối với tôi vì nó không bất biến$t$

$$\text{the total number of distinct bound variable names in }t$$ $t = (\lambda x.x(\lambda y.y))(\lambda x.\lambda y.yx)$ -conversion: ví dụ, t là α -equivalent để t ' = ( λ x . x ( λ y . y ) ) ( λ một . λ b . b một ) , nhưng t ' có bốn tên biến ràng buộc khác nhau. Tuy nhiên, đây không thực sự là một vấn đề, bởi vìsố lượng tên biến ràng buộc riêng biệttối thiểucần thiết để viết một thuật ngữ đóng t bằng với số lượng biến tự do tối đa trong một tập hợp con của  $\alpha$$t$$\alpha$$t' = (\lambda x.x(\lambda y.y))(\lambda a.\lambda b.ba)$$t'$$t$ $$\text{the maximum number of free variables in a subterm of }t$$ và khái niệm thứ hai là bất biến dưới chuyển đổi .$\alpha$

Vì vậy, hãy để là tập hợp của tất cả các tổ hợp có thể được viết bằng cách sử dụng tối đa hai biến ràng buộc riêng biệt hoặc tương đương là tập hợp của tất cả các tổ hợp có tập hợp con có tối đa hai biến tự do.$\mathcal{C}$

Định lý (Statman) : không hoàn thành kết hợp.$\mathcal{C}$

Có vẻ như bằng chứng ban đầu về điều này được chứa trong một báo cáo công nghệ của Rick Statman:

• Kết hợp di truyền của Lệnh Hai. Báo cáo kỹ thuật của khoa toán Carnegie Mellon 88-33, tháng 8 năm 1988. ( pdf )

$\beta$

• Hai biến là không đủ. Kỷ yếu hội thảo Ý lần thứ 9 về Khoa học máy tính lý thuyết, trang 406-409, 2005. ( acm )

$Hn$$Hn$$n+1$$\beta$$n$$S = \lambda x.\lambda y.\lambda z.(xz)(yz)$$n$$n$$Hn$$n+1$