Khi nào BPP với một đồng xu thiên vị bằng BPP tiêu chuẩn?

Hãy để một máy Turing có xác suất có quyền truy cập vào một đồng tiền không công bằng xuất hiện với xác suất $p$ (flips là độc lập). Xác định $BPP_p$ là lớp ngôn ngữ có thể nhận biết được bằng một máy như vậy trong thời gian đa thức. Đây là một bài tập tiêu chuẩn để chứng minh rằng:

A) Nếu là hợp lý hoặc thậm chí là toán được thì . (Theo computable, ý tôi là: có một thuật toán đa thức ngẫu nhiên được cung cấp trong unary trả về whp hợp lý nhị phân với mẫu số nằm trong của .) $p$ $BPP$ $BPP_p=BPP$ $BPP$ $n$ $2^n$ $2^{-n-1}$ $p$

B) Đối với một số tính toán được, lớp chứa một ngôn ngữ không thể giải được và do đó lớn hơn . Các giá trị này của tạo thành một tập hợp dày đặc trong . $p$ $BPP_p$ $BPP$ $p$ $(0,1)$

Câu hỏi của tôi là như sau: những gì xảy ra ở giữa? Có một tiêu chí cho không? Đặc biệt: $BPP_p=BPP$

1) Không thể tính toán được trong xác suất tồn tại sao cho ? (Chúng có thể được tính toán trong một số lớp cao hơn). $BPP$ $p$ $BPP_p=BPP$

2) Có phải rộng hơn cho tất cả các không tính toán được không? (Các tham số trong câu hỏi là những tham số có khai triển nhị phân chứa các chuỗi số 0 và / hoặc rất dài. Trong trường hợp này, các bit tính toán bằng cách lấy mẫu ngẫu nhiên có thể mất rất nhiều thời gian, thậm chí không thể tính toán được và vấn đề không thể thay đổi theo thời gian đa thức. khó có thể vượt qua bởi một cơ sở mở rộng khác, nhưng nhất định có thể đánh lừa tất cả các cơ sở). $BPP_p$ $BPP$ $p$ $p$

cc.complexity-theory randomized-algorithms probabilistic-complexity

— Daniil Musatov
nguồn

Chính xác những gì bạn có nghĩa là bởi p là (un) tính toán?

— daniello

Tôi đã thêm định nghĩa của

-computable. Để tính toán nói chung, người ta có thể bỏ các từ "đa thức ngẫu nhiên" hoặc nói đơn giản là mở rộng nhị phân là có thể tính toán được. (Với tài nguyên bị ràng buộc, điều này không giống nhau.)

B P P

$BPP$

— Daniil Musatov

Tôi nghĩ rằng

cho mỗi uncomputable

vì cho một

một -biased đồng xu có thể tính toán

'th chút

bằng cách lấy mẫu. Giả sử chúng ta có thể tính toán

'th bit trong thời gian

, sau đó các ngôn ngữ có chứa

cho tất cả

như vậy mà

' th chút

là

trong

B P P_{p} \neq B P P

$BPP_p \neq BPP$

p

$p$

p

$p$

n

$n$

p

$p$

n

$n$

f (n)

$f(n)$

1^{x}

$1^x$

x

$x$

f^{- 1} (x)

$f^{-1}(x)$

p

$p$

1

$1$

B P P_{p}

$BPP_p$ , nhưng rõ ràng nó là không thể tính toán được.

— daniello

Điều này chắc chắn đúng với đại đa số

. Nhưng có một caveat: nếu

chứa chuỗi rất dài của số không và những người sau đó nó có thể cần rất dài lấy mẫu để xác định

'th bit. Việc lấy mẫu này có thể dài đến mức

sẽ không thể tính toán được (như hàm Busy Beavers). Tôi cũng nghi ngờ nó có thể được tính toán chính xác từ việc lấy mẫu. Và dường như không có máy tính

người ta không thể nhận ra ngôn ngữ được đề cập.

p

$p$

p

$p$

n

$n$

f (n)

$f(n)$

f (n)

$f(n)$

— Daniil Musatov 8/8/2016

1) Có, nhưng chỉ vì định nghĩa của bạn. Hãy ngôn ngữ unary (yeah, tôi biết điều này có thể là trống rỗng, trong trường hợp đó chỉ mất một cái gì đó thậm chí lớn hơn ), có nghĩa là rất thưa thớt theo nghĩa là nếu không phải là một tháp , tức là có dạng . Xác định . Đây không phải là $L\in EXP\setminus BPP$ $EXP$ $n\notin L$ $n$ $2's$ $2^{2^{2^\ldots}}$ $p=\sum_{n\in L} 1/n$ $p$ -computable, nhưng có thể xấp xỉ trong lên đến một lỗi phụ đủ nhỏ cho phép mô phỏng của một máy. $BPP$ $p$ $P$ $BPP_p$

Có bạn đã định nghĩa -computable như vậy mà bạn muốn xấp xỉ lên đến một lỗi phụ của (thay vì ) trong thời gian đa thức, mọi thứ sẽ khác. $BPP$ $p$ $1/n$ $1/2^n$

Cập nhật. Câu trả lời dưới đây dành cho trường hợp khi lỗi phụ gia chúng tôi cho phép là thay vì . $2^{-n}$ $2^{-n-1}$

2) Có, bởi vì ở đây bạn có thể quên đi giới hạn đa thức trên các lớp và bằng cách lấy mẫu lần, bạn có thể nhận được bit thứ của trong . $2^n$ $n$ $p$ $BPP_p$

— động vật
nguồn

2) Tôi nghĩ rằng định lý giới hạn trung tâm gợi ý rằng người ta nên lấy mẫu

, chứ không phải

, lần để có được độ chính xác

. Nhưng vấn đề chính là đôi khi chúng ta cần độ chính xác cao hơn nhiều. Nói, nếu

2^{2 n}

$2^{2n}$

2^{n}

$2^n$

2^{- n}

$2^{-n}$

thì người ta cần

| p - \frac{1}{2} | < ϵ

$|p-\frac12|<\epsilon$

mẫu để tính toán ngay cả những chữ số đầu tiên. Và số lượng mẫu cần thiết có thể tùy ý, thậm chí không thể tính toán được, lớn. Điểm này là một chút làm rõ trong chỉnh sửa.

\frac{1}{ϵ^{2}}

$\frac1{\epsilon^2}$

— Daniil Musatov

@Daniil: Như tôi đã nhận xét về vấn đề là tốt, bạn đã không yêu cầu tính toán của các chữ số trong định nghĩa của bạn của

-computable. Vì vậy, nếu

bằng, giả sử

, thì ta nên đoán

cho chữ số đầu tiên sau dấu phẩy theo def của bạn.

B P P

$BPP$

p

$p$

0.01111111111

$0.01111111111$

1

$1$

— domotorp

Bây giờ chúng ta đang nói về

không thể tính toán được, phải không? Nếu tôi hiểu bạn đúng, bạn đề nghị không tính toán bằng cách lấy mẫu chữ số của

, nhưng thay vì để tính toán xem

'th chữ số của

nhị phân xấp xỉ hợp lý của

là 1. Nhưng ở đây chúng ta phải đối mặt với cùng một vấn đề: để tính toán chữ số đầu tiên chúng ta cần phân biệt 0,010000000001 và 0,001111111110.

p

$p$

p

$p$

i

$i$

2^{- i - 1}

$2^{-i-1}$

p

$p$

— Daniil Musatov

@Daniil: OK, xấu của tôi, tôi nghĩ rằng bạn muốn một lý trí nhị phân có khoảng cách nhiều nhất là

từ

. Tôi đã cập nhật câu trả lời của tôi cho phù hợp. Bạn có hài lòng với giải pháp của tôi cho 1) không?

2^{- n}

$2^{-n}$

p

$p$

— domotorp