sự phức tạp của một vấn đề hứa hẹn sự hài lòng ràng buộc

(Đây là "thượng kết thúc" của câu hỏi của tôi từ hơn 10 months ago trên cs.stackexchange.
Đó là câu hỏi và "kết thúc thấp hơn" Tôi hỏi đây hơn 8 tháng trước đây ,
mà tôi cũng có một tiền thưởng trên, đều được trả lời.
Những là ảnh chụp màn hình của bài đăng này sẽ trông như thế nào, trong trường hợp nó không hiển thị chính xác.)

bắt đầu Phần Động lực:

Tôi bắt đầu tự hỏi liệu định lý phân đôi của Schaefer
có thể được mở rộng để hứa hẹn hay không - Như một phần của điều đó, tôi tìm kiếm ràng buộc lời hứa
đơn giản nhất mà câu trả lời không tầm thường:

Để tránh định lý Schaefer đã được áp dụng, phải có ít nhất một bộ dữ liệu đầu vào mà lời hứa thất bại. Vì lý do tương tự như định lý đó, all-true và all-false phải cung cấp NO và phải có nhiều hơn một đầu vào cung cấp CÓ. Cụ thể, phải có nhiều hơn bốn đầu vào có thể, do đó, ràng buộc lời hứa phải có ít nhất 3 biến. Để có được một biến đơn giản , giả sử nó có hơn 3 biến và đối xứng, nghĩa là chỉ phụ thuộc vào số lượngđầu vào của nó là đúng, không phải cái nào là đầu vào. Trong trường hợp đó, 2-true sẽ cho CÓ và lời hứa thất bại cho 1-true, 1-true cho CÓ và lời hứa không thành 2-true. Bằng cách chỉ cần lật từng biến, những biến đó tương đối khó, vì vậy để cung cấp một tuyên bố chính thức ngắn hơn và tên "đẹp hơn", tôi sẽ sử dụng cái sau, tức là chính xác-1-true cho CÓ và lời hứa thất bại cho 2-true.

kết thúc phần động lực

Câu hỏi của tôi

Hãy để tích cực 1,2 trong 3-SAT "là vấn đề hứa hẹn Các

đầu vào có cú pháp 3-SAT không có phủ định
phải xuất ra CÓ nếu: đầu vào là 1 trong 3 thỏa mãn
phải xuất ra KHÔNG nếu : Đầu vào không thỏa mãn NAE

.

Sự phức tạp của vấn đề đó là gì?

Bạn có thể chọn một biến có thể xảy ra hai lần trong một ràng buộc lời hứa không.

(Một biến xảy ra 3 lần trong một ràng buộc lời hứa duy nhất
sẽ tự động biến nó thành một trường hợp bắt buộc-đầu ra-KHÔNG.)

Rõ ràng, chức năng nhận dạng là sự giảm từ vấn đề hứa hẹn thành tích cực 1 trong 3-SAT
và NAE-SAT tích cực, do đó, GC (O (m), coNLOGTIME ) có thể giải quyết vấn đề về lời hứa.
Tuy nhiên, có một quan sát có vẻ tầm thường dẫn đến
sự tắc nghẽn kết hợp với bằng chứng độ cứng NP "đơn giản" cho 1,2-in-3-SAT tích cực:

Đối với bất kỳ bộ biến nào đáp ứng ít nhất một ràng buộc hứa hẹn nhiều lần,
không có phép gán thỏa mãn 1 trong 3 trong đó các biến đó đều đúng.
Ngược lại, đối với bất kỳ tập hợp biến nào đáp ứng từng ràng buộc hứa hẹn nhiều nhất, cho bất kỳ biến nào
Chuyển nhượng thỏa mãn 1 trong 3, có thể sửa đổi nó để biến tất cả các biến trong tập hợp đó thành đúng mang lại một nhiệm vụ thỏa mãn NAE. Cụ thể, sự phân biệt của hai bài tập thỏa mãn 1 trong 3
luôn là bài tập thỏa mãn NAE. Để giải thích về hậu quả của điều đó,
giả sử 1,2 trong 3-SAT tích cực có một tiện ích thực hiện ràng buộc C hứa hẹn, sao cho
tiện ích "biểu thị và diễn giải các biến của C theo cách tương tự nhau", nghĩa là,

$forward$
^{$\hspace{.02 in}$}

$forward$

$backward$ ^{$\hspace{.02 in}$}
$backward$

. Trong trường hợp đó, với mỗi biến C và x, nếu C có đầu vào CÓ sao cho (x, y) = (a, b) và
đầu vào CÓ sao cho (x, y) = (b, a), sau đó nó có một đầu vào sao cho x = y nhưng nó không cho NO.
Đặc biệt, các tiện ích như vậy thậm chí không thể thực hiện tô màu hứa hẹn .

Ngoài ra, phần bổ sung của bài tập thỏa mãn 1 trong 3 luôn luôn là bài tập thỏa mãn NAE, trong đó áp dụng các hạn chế yếu hơn đối với các loại tiện ích mà 1,2 trong 3 SAT tích cực có thể có.

$m$ $\hspace{-0.03 in}\big(\hspace{-0.04 in}$ 2 ^{o (m)} $\hspace{-0.03 in}\big)\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.04 in}$ $m$

np-hardness csp promise-problems

— cộng đồng
nguồn

Giả sử rằng chúng ta được đưa ra một biểu thức Boolean F trong 3-CNF, trong đó không có nghĩa đen nào bị phủ định. Ok ... Chúng tôi được hứa rằng luôn có một giải pháp, vì bạn muốn nó là CÓ = 1 trong 3-SAT và KHÔNG = NAE-SAT. Tuy nhiên, điều bạn đang thiếu là F có thể là cả 1 trong 3-SAT và NAE-SAT cùng một lúc. Ví dụ, nó có thể có sự phân công sự thật thỏa mãn, trong đó chính xác 1 nghĩa đen được thỏa mãn nên nó là 1 trong 3-SAT, nhưng điều này cũng đặt nó trong NAE-SAT vì nghĩa đen của tất cả các mệnh đề không phải là tất cả Đúng hoặc Sai.

— Tayfun Trả

Làm thế nào về CÓ = 1 trong 3 SAT, NO = 2 trong 3 SAT. ? :-)

— Tayfun Trả tiền

"Điều này cũng đặt nó trong NAE-SAT", có nghĩa là nó không thỏa đáng với NAE, vì vậy tôi không thấy vấn đề với những gì tôi đã viết.

Đúng. Tôi chỉ thấy rằng bạn muốn ~ NAE-SAT ... Vì vậy, bạn muốn tất cả các nghĩa đen của mỗi mệnh đề đều đúng hoặc sai. Chính xác?

— Tayfun Trả

Tất cả phần True không thể thực hiện được trừ khi bạn có phủ định ... Và cùng một biến hai lần với cực tính ngược nhau trong cùng một mệnh đề.

— Tayfun Trả

Liên quan đến câu hỏi liệu định lý phân đôi của Shaefer (hay nói chung hơn là phỏng đoán của FederTHER Vardi, được chứng minh gần đây bởi Bulatov và Zhuk ) có thể được khái quát hóa để hứa hẹn các vấn đề: sự phức tạp của CSP hứa hẹn hiện đang là một chủ đề nghiên cứu nóng. Nó vẫn còn rất mở nếu có sự phân đôi như vậy ngay cả đối với các PCSP Boolean. Tuy nhiên, kết quả một phần được biết đến, đặc biệt là Brakensiek và Guruswami [1] chứng minh sự phân đôi cho các PCSP Boolean đối xứng cho phép phủ định các biến.

$x_1-x_2+x_3-\dots-x_{L-1}+x_L$

Thuật toán 1:

$C$ $3$ $\overline{x_i}$ $1-x_i$ $L_C$

u + v + w = 1

$u+v+w=1$

{u, v, w} \in C

$\{u,v,w\}\in C$

(x_{1}, \dots, x_{n})

$(x_1,\dots,x_n)$

L_{C}

$L_C$

$C$

x_{i}^{'} = {\begin{cases} 1 & x_{i} \geq 1, \\ 0 & x_{i} \leq 0 \end{cases}

$x'_i=\begin{cases}1&x_i\ge1,\\0&x_i\le0\end{cases}$

C

$C$

(Cả hai yêu cầu đều đơn giản để xác minh.)

Thuật toán 2:

$P_C$ $L_C$

0 \leq x_{i} \leq 1

$0\le x_i\le1$

x_{i}

$x_i$

$i$ $P_C\cup\{x_i=0\}$ $P_C\cup\{x_i=1\}$ $C$

$C$

$3$ $C$ $C$

Tài liệu tham khảo:

[1] Joshua Brakensiek và Venkatesan Guruswami, Hứa hẹn sự hài lòng về sự ràng buộc: Cấu trúc đại số và phép cắt bỏ đối xứng Boolean đối xứng , arXiv: 1704.01937 [cs.CC].

— Emil Jeřábek
nguồn