Tình trạng hoàn thành PP của MAJ3SAT

CÂU HỎI NGẮN HẠN: MAJ-3CNF có phải là vấn đề hoàn chỉnh PP theo nhiều mức giảm không?

PHIÊN BẢN DÀI HẠN: Người ta biết rằng MAJSAT (quyết định xem phần lớn các bài tập của câu mệnh đề có thỏa mãn câu không) có hoàn thành PP theo nhiều mức giảm một hay không và #SAT hoàn thành dưới mức giảm đáng kể. Rõ ràng là # 3CNF (nghĩa là #SAT bị giới hạn trong các công thức 3-CNF) là # P-hoàn thành, vì việc giảm Cook-Levin là tuyệt vời và tạo ra 3-CNF (mức giảm này thực sự được sử dụng trong cuốn sách của Papadimitriou hiển thị # P-đầy đủ của #SAT).

Dường như một lập luận tương tự sẽ chứng minh rằng MAJ-3CNF hoàn thành PP theo nhiều mức giảm một (MAJ-kCNF là MAJSAT bị giới hạn trong các công thức kCNF; đó là mỗi mệnh đề có k lít).

Tuy nhiên, trong một bài trình bày của Bailey, Dalmau và Kola viêm, "Các giai đoạn chuyển tiếp của các vấn đề thỏa mãn hoàn thành PP", các tác giả đã đề cập rằng "MAJ3SAT không được gọi là PP-Complete" (trình bày tại https: //users.soe.ucsc .edu / ~ viêm kola / nói / ppphase4.ppt ). Câu này dường như không xuất hiện trong các bài báo liên quan của họ, chỉ trong các bài thuyết trình của họ.

Câu hỏi: Bằng chứng rằng # 3CNF là # P-Complete có thực sự được điều chỉnh để chứng minh rằng MAJ3CNF đã hoàn thành PP không? Đưa ra tuyên bố của Bailey và cộng sự, có vẻ như không; nếu bằng chứng không mang theo, thì: Có bằng chứng nào cho thấy MAJ-3CNF đã hoàn thành PP không? Nếu không, có một số trực giác về sự khác biệt giữa PP và #P đối với kết quả này?

TRẢ LỜI NGẮN HẠN:
Không biết liệu có phải là sự cố P P -complete dưới mức giảm nhiều không.$\mathsf{MAJ3CNF}$$\mathsf{PP}$

TRẢ LỜI DÀI:
Trước hết, bạn đề cập đến Bailey, Dalmau và Kola viêm, và công việc của họ về "Các giai đoạn chuyển tiếp của các vấn đề thỏa mãn -complete"$\mathsf{PP}$ trong câu hỏi của bạn. Hãy để tôi trích dẫn chúng:

'Điều đáng chú ý là, mặc dù là P P -complete, không biết có số nguyên k ≥ 3 hay không , sao cho M A J O R I T Y k S A T là P P -complete. '$\mathsf{MAJORITY \ SAT}$$\mathsf{PP}$$k \geq 3$$\mathsf{MAJORITY}$ $\mathsf{kSAT}$$\mathsf{PP}$

[ http://www.scTHERirect.com/science/article/pii/S0166218X06004665 ]

Thực sự, chính xác là việc giảm Cook-Levin là tuyệt vời và tạo ra 3CNF từ một CNF nhất định. Vì là # P -complete, ngay lập tức sau đó # 3 C N F cũng là # P -complete dưới mức giảm đáng kể. Tuy nhiên, như đã chỉ ra trong một bình luận, việc cắt giảm đáng kể không bảo toàn được đa số. Các mức giảm này đưa ra các biến phụ trợ để giảm kích thước của các mệnh đề, nhưng lần lượt, các biến phụ này làm tăng tổng số phép gán. Ví dụ, hãy xem xét 4CNF bao gồm một mệnh đề duy nhất:$\mathsf{\#CNF}$$\mathsf{\#P}$$\mathsf{\#3CNF}$$\mathsf{\#P}$

$\phi = (x_1 \vee x_2 \vee x_3 \vee x_4)$

được chuyển thành

$\phi'=(x_1 \vee x_2 \vee y) \wedge (y \leftrightarrow (x_3 \vee x_4))$

sử dụng biến phụ trợ và cuối cùng là 3CNF$y$

$\psi= (x_1 \vee x_2 \vee y) \wedge (\neg y \vee x_3 \vee x_4) \wedge (y \vee \neg x_3 ) \wedge (y \vee \neg x_4).$

Sự chuyển đổi này bảo tồn rõ ràng số lượng mô hình, nhưng dễ dàng nhận thấy rằng phần lớn không được bảo tồn. có 15 nhiệm vụ đáp ứng trong số 16 bài tập trong khi ψ có 15 đáp ứng nhiệm vụ trong tổng số 32 bài tập. Trước đây, sự thỏa mãn đa số giữ trong khi ở sự hài lòng đa số sau lại không giữ được.$\phi$$\psi$

Do đó, KHÔNG, bằng chứng rằng # 3CNF là -complete không thể được điều chỉnh để chứng minh rằng M A J 3 C N F là P P -complete? Nó vẫn mở cho dù M A J 3 C N F là một vấn đề P P -complete dưới nhiều mức giảm một.$\mathsf{\#P}$$\mathsf{MAJ3CNF}$$\mathsf{PP}$$\mathsf{MAJ3CNF}$$\mathsf{PP}$

không đưa ra nhiều của một cái nhìn sâu sắc giữa những khác biệt của # P và P P . Trên thực tế quyết định quyết định biến thể của # 3 C N F , nói D # 3 C N F , được định nghĩa như sau: cho một CNF φ và một số m ≥ 0 , quyết định xem φ có ít nhất m thỏa mãn các bài tập. Lưu ý rằng đối với D # 3 C N $\mathsf{MAJ3CNF}$$\mathsf{\#P}$$\mathsf{PP}$$\mathsf{\#3CNF}$$\mathsf{D\#3CNF}$$\phi$$m \geq 0$$\phi$$m$$\mathsf{D\#3CNF}$, chúng tôi không quan tâm đến đa số. Do đó, chúng ta có thể chuyển đổi bất kỳ CNF nào thành 3CNF bằng cách sử dụng mức giảm phân tách, điều này chứng tỏ rằng là P P -complete dưới nhiều mức giảm một. M Một J 3 C N F chỉ đơn giản là một vấn đề khác với D # 3 C N F .$\mathsf{D\#3CNF}$$\mathsf{PP}$$\mathsf{MAJ3CNF}$$\mathsf{D\#3CNF}$