Vấn đề dễ dàng với các phiên bản đếm cứng

20

Wikipedia cung cấp các ví dụ về các vấn đề trong đó phiên bản đếm khó, trong khi phiên bản quyết định thì dễ. Một số trong số này đang đếm các kết hợp hoàn hảo, đếm số lượng giải pháp cho -SAT và số cách sắp xếp tôpô. $2$

Có lớp học quan trọng nào khác không (ví dụ như trong mạng, cây, lý thuyết số, v.v.)? Có một bản tóm tắt các vấn đề như vậy?

Có nhiều loại sự cố trong có các phiên bản đếm ngược. $P$ $\#P$

Có phiên bản nào của một vấn đề tự nhiên trong hoàn toàn được hiểu hoặc đơn giản hơn so với kết hợp hoàn hảo lưỡng cực chung (vui lòng bao gồm các chi tiết về lý do đơn giản hơn như có thể chứng minh được trong các lớp thấp nhất của -hierarchy, v.v.) ở một số khu vực khác (chẳng hạn như lý thuyết số, mạng tinh thể) hoặc ít nhất là đối với các biểu đồ lưỡng cực đơn giản cụ thể, có phiên bản đếm là -hard? $P$ $NC$ $\#P$

Các ví dụ từ mạng tinh thể, đa giác, đếm điểm, lý thuyết số sẽ được đánh giá cao .

— T ....
nguồn

1

Có lẽ bạn muốn các vấn đề tự nhiên , vì [bằng cách giảm từ #SAT, các vấn đề mà # P-hard theo [mức giảm nhân với số không khác nhau] có các vấn đề về quyết định cứng của HP] và [bởi chức năng nhận dạng, {x: x là 1+ (number_of_variabled_ ( )) hoặc [số 0 theo sau là một phép gán thỏa mãn cho ]} là # P-hard theo loại giảm nghiêm ngặt nhất tiếp theo, nhưng phiên bản quyết định của nó là tầm thường].

ϕ

$\phi$

ϕ

$\phi$

@RickyDemer bài viết của bạn ngắn gọn. Có tôi muốn vấn đề tự nhiên.

— T ....

Chúng ta có thực sự không hoàn toàn hiểu các kết hợp hoàn hảo trong đồ thị lưỡng cực? Ngoài ra, có một thuật toán RNC2 cho vấn đề này.

— Sasho Nikolov

1

Vâng, chúng tôi không. Chúng tôi không có một thuật toán xác định .

N C

$NC$

— T ....

8

Đây là một ví dụ thực sự xuất sắc (tôi có thể bị thiên vị).

Cho một bộ được đặt hàng một phần:
a) nó có phần mở rộng tuyến tính (nghĩa là tổng thứ tự tương thích với thứ tự từng phần) không? Trivial: Tất cả các poset đều có ít nhất một phần mở rộng tuyến tính
b) Nó có bao nhiêu? # P-Complete để xác định điều này (Brightwell và Winkler, Đếm các phần mở rộng tuyến tính , Đơn hàng, 1991)
c) Chúng ta có thể tạo ra tất cả chúng một cách nhanh chóng không? Có, trong thời gian khấu hao không đổi (Pruesse và Ruskey, Tạo phần mở rộng tuyến tính nhanh , SIAM J Comp 1994)

— Gara Pruesse
nguồn

3

+1: Tôi đồng ý rằng đây là một ví dụ thực sự xuất sắc (đã nghĩ đến việc tự đăng nó và sau đó thấy câu trả lời này). Ngoài ra, kẻo sẽ nói "Còn quyết định nếu có ít nhất một phần mở rộng tuyến tính khác " thì vấn đề đó cũng hoàn toàn không đáng kể: tổng đơn hàng có 1 phần mở rộng, tất cả các vị trí khác có> 1. Và việc phát hiện chính xác 2 phần mở rộng cũng dễ dàng (điều này xảy ra nếu có chính xác một cặp yếu tố không thể so sánh được). Trên thực tế, có một phân loại đầy đủ các bộ sao lưu với tối đa 7 phần mở rộng tuyến tính (xem Hanamura-Iwata, IPL 2011 ).

— Joshua Grochow

Đây là một ví dụ tốt đẹp thực sự. Tuy nhiên, có một vấn đề "đơn giản" hơn rất nhiều khi hưởng cùng một loại tính chất (đơn giản hơn theo nghĩa các tính chất này gần như không đáng để chứng minh). Đếm số lượng bài tập thỏa mãn của một DNF: a) mọi DNF không trống đều thỏa đáng b) đếm là # P-hoàn thành (giảm xuống #SAT) c) phép tính có thể được thực hiện với độ trễ đa thức (thời gian có thể được khấu hao không đổi nghĩ về điều đó)

— holf

Tôi sẽ rất quan tâm đến việc liệu DNF có thể thỏa mãn các bài tập có thể được tạo ra trong thời gian khấu hao không đổi (CAT) không. Vào thời điểm đó và bài báo của tôi với Frank, vào năm 1994, các phần mở rộng tuyến tính là đối tượng "được xác định tự nhiên" đầu tiên mà việc đếm là khó khăn và việc tạo ra nhanh như khi nó được khấu hao (ví dụ, CAT). Các giải pháp DNF có vẻ như là một ứng cử viên cho khả năng này. Có ai có một tài liệu tham khảo?

— Gara Pruesse

@GaraPruesse Tôi không có tài liệu tham khảo cho điều đó. Đối với monotone-DNF, nó tương đương với việc liệt kê tập hợp các siêu dữ liệu và một số kỹ thuật để cải thiện độ trễ được trình bày trong "Thuật toán hiệu quả để nhân đôi siêu dữ liệu quy mô lớn" của Keisuke Murakami và Takeaki Uno dl.acm.org/citation.cfm? id = 2611867 . Chúng ta nên kiểm tra nếu nó cung cấp cho CAT. Đối với DNF, trực giác của tôi là nếu có một điều khoản nhỏ thì bạn đã có đủ giải pháp cho việc cưỡng bức. Mặt khác, bạn chỉ có các mệnh đề lớn và sau đó có nhiều khả năng xung đột và điều đó có thể được sử dụng để thiết kế thuật toán CAT.

— holf

17

Một ví dụ thú vị từ lý thuyết số là biểu thị một số nguyên dương dưới dạng tổng của bốn hình vuông. Điều này có thể được thực hiện tương đối dễ dàng trong thời gian đa thức ngẫu nhiên (xem bài viết năm 1986 của tôi với Rabin tại https://dx.doi.org/10.1002%2Fcpa.3160390713 ), và nếu tôi nhớ chính xác, giờ đây thậm chí còn có thời gian đa thức xác định dung dịch. Nhưng đếm số lượng các cơ quan đại diện như vậy sẽ cho phép bạn để tính toán tổng-of-ước hoạt , đó là ngẫu nhiên thời gian đa thức tương đương với bao thanh toán . Vì vậy, vấn đề đếm có lẽ là khó khăn. $\sigma(n)$ $n$

— Jeffrey Shallit
nguồn

"Vì vậy, vấn đề đếm có lẽ khó", ý bạn là có lẽ

khó? bạn có bằng chứng không

# P

$\#P$

— T ....

"Có lẽ khó", ý tôi là thời gian đa thức ngẫu nhiên tương đương với hệ số nguyên.

— Jeffrey Shallit

3

Vì vậy, để làm cho nó rõ ràng: vấn đề không phải là # P-hard (trừ khi tất cả các địa ngục vỡ ra).

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica

@JeffreyShallit Có ví dụ

không?

# P

$\#P$

— T ....

Tôi nghĩ rằng những điều sau đây là một ví dụ thậm chí đơn giản hơn: "Liệu

có một lớn hơn ước đúng đắn hơn

" và "Có bao nhiêu ước thích hợp lớn hơn

thì

có?". Phiên bản quyết định tương đương với "

là hỗn hợp" vì vậy nó thuộc

, nhưng phiên bản đếm không có vẻ dễ dàng hơn bao thanh toán.

n

$n$

1

$1$

1

$1$

n

$n$

n

$n$

P

$P$

— Dan Brumleve

17

Một ví dụ rất hay và đơn giản từ Lý thuyết đồ thị là đếm số lượng mạch Eularian trong một đồ thị không có hướng.

Phiên bản quyết định rất dễ dàng (... và vấn đề Bảy cây cầu của Königsberg không có giải pháp :-)

Phiên bản đếm là # P-hard: Graham R. Brightwell, Peter Winkler: Counting Eulerian Circuits là # P-Complete . ALENEX / ANALCO 2005: 259-262

— Marzio De Biasi
nguồn

N

$N$

G

$G$

p

$p$

G_{p}

$G_p$

N

$N$

p

$p$

m

$m$

m^{2}

$m^2$

| E | = m

$|E| = m$

giảm chất lượng.

m^{ϵ}

$m^{\epsilon}$

@MarzioDeBiasi là quyết định mạch Euler ở NC?

— T ....

1

@AJ. Bạn chỉ cần tính toán mức độ tương đương của mức độ của mỗi nút và kiểm tra xem chúng có đồng đều không. Có vẻ chắc chắn là ở NC.

— Sasho Nikolov

4

Bạn có thể lấy tính chẵn lẻ của

bit bằng công thức kích thước

hoặc mạch kích thước tuyến tính có độ sâu

. Vì vậy, nếu biểu đồ của bạn được đưa ra dưới dạng ma trận kề, hãy tính tính chẵn lẻ của mỗi hàng, phủ định và lấy AND. AND của

bit có thể được thực hiện với công thức kích thước tuyến tính, do đó, về tổng thể, bạn có được công thức Boolean kích thước

và mạch Boolean kích thước

có độ sâu

n

$n$

O (n^{2})

$O(n^2)$

O (\log n)

$O(\log n)$

n

$n$

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

O (\log n)

$O(\log n)$ (trên cơ sở AND-OR). Vì vậy, vấn đề là trong thực tế ở

.

{N C}^{1}

$\mathsf{NC}^1$

— Sasho Nikolov

2

Trong thực tế, vấn đề là ở

.

{A C}^{0} [2]

$\mathrm{AC}^0[2]$

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica

6

Liên quan đến câu hỏi thứ hai của bạn, các vấn đề như Monotone-2-SAT (quyết định mức độ thỏa đáng của công thức CNF có tối đa 2 nghĩa đen theo mệnh đề) là hoàn toàn không đáng kể (bạn chỉ cần kiểm tra xem công thức của mình có trống hay không) nhưng vấn đề đếm là # P-hard. Ngay cả xấp xỉ số lượng bài tập thỏa mãn của công thức như vậy cũng khó (xem Về độ cứng của lý luận gần đúng, Dan Roth, Trí tuệ nhân tạo, 1996).

— linh dương
nguồn

5

Từ [Kayal, CCC 2009] : Đánh giá rõ ràng các đa thức hủy diệt tại một số điểm

Từ bản tóm tắt: `` Đây là vấn đề tính toán tự nhiên duy nhất trong đó việc xác định sự tồn tại của một đối tượng (đa thức hủy trong trường hợp của chúng ta) có thể được thực hiện một cách hiệu quả nhưng việc tính toán thực tế của đối tượng là rất khó. ''

$\mathbb{F}$ $\vec{f} = (f_1, ..., f_k)\in\mathbb{F}[x_1, ..., x_n]$ $k$ $d$ $n$ $\mathbb{F}.$ $\vec{f}$ $A$ $A(f_1, ..., f_k) = 0.$

$k$ $(f_1, ..., f_k)$ $k \ge n+1,$ $A$ $(f_1, ..., f_k)$

$p,$ $(f_1, ..., f_k)\in\mathbb{Z}[x_1, ..., x_n]$ $A(t_1, ..., t_k)\in\mathbb{Z}[t_1, ..., t_k],$ $A(0, ..., 0)\bmod{p}.$

$\#\mathsf{P}$ $A(t_1, ..., t_k)$ $\mathsf{PH}$

— Daniel Apon
nguồn

1

m^{ϵ}

$m^{\hspace{.02 in}\epsilon}$

1

Các tài nguyên tôi có thể tìm thấy dường như không đồng ý với các định nghĩa. Hãy để AE là vấn đề mà câu trả lời của bạn thảo luận. (... tiếp theo)

1

(

$\big(\hspace{-0.07 in}$

^{0}

$^0$

)

$\hspace{-0.06 in}\big)$

^{| |}

$^{\hspace{-0.06 in}||\hspace{-0.06 in}}$

^{AE}

$^{\text{AE}}$

^{[\sqrt{n}]}

$^{\hspace{-0.05 in}[\sqrt{n}]}$

1

\subseteq

$\subseteq$

^{AE}

$^{\text{AE}}$

^{[\sqrt[3]{n}]}

$^{[\sqrt[3]{n}]}$

/

$\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.04 in}$ đa .

1

k

$k$

n

$n$

m a x d e g f_{i}

$max deg f_i$

{N P}^{# P}

$\mathsf{NP}^{\mathsf{\# P}}$