Độ phức tạp của một vấn đề ma trận

Vấn đề sau đây gần đây đã xuất hiện trong nghiên cứu của tôi. Không phải là chuyên gia về các câu hỏi thuật toán, tôi đã tìm hiểu rất nhiều về các vấn đề phù hợp để giảm bớt. Tôi không thấy 3SAT sẽ hoạt động như thế nào và mặc dù ZOE tương tự về mặt tinh thần, việc giảm là không rõ ràng. Một khả năng khác sẽ là lý thuyết hiện sinh của thực tế. Điều đó dường như không hoàn toàn phù hợp nhưng tôi có thể sai về điều đó.

Vấn đề: $A$ và $B$ đều $n\times n$ -matrices trên lĩnh vực yêu thích của bạn. Chúng tôi giả sử rằng một bộ chỉ số tùy ý của $A$ được đặt thành 0. Tương tự, một bộ chỉ số tùy ý của $B$ được đặt thành 0. Câu hỏi: chúng ta có thể điền vào các chỉ số còn lại của $A$ và $B$ sao cho $AB = I_n$ không?

Ví dụ: , . Không thể. $A = \begin{bmatrix} 0 & a_1 \\ a_2 & 0 \end{bmatrix}$ $B = \begin{bmatrix} b_1 & 0 \\ 0 & b_2 \end{bmatrix}$

Độ phức tạp tính toán của cái này (tính bằng ) là gì? $n$

Bất kỳ gợi ý hoặc ý tưởng về nơi để tìm kiếm kết quả tương tự trong tài liệu sẽ được đánh giá rất cao.

EDIT (hoàn toàn quên về bài đăng này): Trong công việc gần đây có sẵn trên arXiv (nếu có ai quan tâm đến bản in trước hãy cho tôi biết) chúng tôi đã chỉ ra rằng vấn đề là NP-hard đối với bất kỳ trường hữu hạn nào.

cc.complexity-theory

— MB
nguồn

Với điều kiện trường cơ sở đủ lớn, vấn đề kiểm tra xem bạn có thể làm cho

khả nghịch không làm giảm (bổ sung) kiểm tra nhận dạng đa thức hay không. Chỉ cần quan sát rằng định thức của

là một đa thức trong các giá trị của các mục bị thiếu.

A B

$AB$

A B

$AB$

— Andrew Morgan

Ngoài ra, trường hợp chúng tôi giới hạn các mục nhập của

và

là zero-one và đặc tính của trường lớn hơn

, làm giảm sự phù hợp hoàn hảo của lưỡng cực. Bạn có thể tưởng tượng việc chọn cho mỗi chỉ số

một chỉ mục khác

để bạn đặt

và các mục còn lại bằng không. (Đặt nhiều cái hơn mức này chỉ có thể làm tổn thương.) Sau đó, điều kiện

có thể được biểu thị dưới dạng biểu đồ lưỡng cực với các chỉ số

A

$A$

B

$B$

n

$n$

i

$i$

k_{i}

$k_i$

A_{i, k_{i}} = B_{k_{i}, i} = 1

$A_{i,k_i} = B_{k_i,i} = 1$

A B = I_{n}

$AB = I_n$

i

$i$ ở bên trái, các lựa chọn của

ở bên phải và các cạnh cho các cặp

mà chúng ta có thể đặt

và

k_{i}

$k_i$

(i, k_{i})

$(i,k_i)$

A_{i, k_{i}}

$A_{i,k_i}$

B_{k_{i}, i}

$B_{k_i,i}$

— Andrew Morgan

@MB: Ngoài ra, lưu ý rằng trong khi kiểm tra xem

có thể biến đổi được hay không cũng giống như kiểm tra xem cả

và

có thể được đảo ngược hay không, kiểm tra xem

có thể biến đổi được không giống như kiểm tra xem

có thể được thực hiện danh tính . Để kiểm tra xem

(resp.

) có thể được đảo ngược hay không, bạn nói "điều đó có thể được thực hiện một cách hiệu quả", nhưng trong cài đặt của bạn, điều này tương đương với việc kiểm tra sự phù hợp hoàn hảo giữa sự hỗ trợ của

(resp.

A B

$AB$

A

$A$

B

$B$

A B

$AB$

A B

$AB$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$ ) (cùng một vấn đề, nhưng hơi khác so với nhận xét thứ hai của Andrew Morgan).

— Joshua Grochow

Một số trường hợp đặc biệt của vấn đề này dường như xảy ra trong PPAD, như Vấn đề bổ sung tuyến tính: kintali.wordpress.com/2009/08/04/linear-compuityarity-prob‌ lem Điều này cho thấy việc tìm giải pháp là khó khăn.

— domotorp

Trong trường hợp những người khác chưa tìm ra điều này, có một sự lựa chọn

(trên bất kỳ lĩnh vực nào) mà

, nhưng trong đó thử nghiệm kết hợp hoàn hảo thất bại. tức là không có ma trận hoán vị

sao cho

được hỗ trợ trên sự hỗ trợ của

và

được hỗ trợ trên sự hỗ trợ của

. Sự lựa chọn được đưa ra bởi

và

A, B

$A,B$

A B = I

$AB = I$

P

$P$

P

$P$

A

$A$

P^{- 1} = P^{⊺}

$P^{-1}=P^{\intercal}$

B

$B$

A = [\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix}]

$A=\begin{bmatrix}1&-1&0\\1&0&1\\1&-1&1\end{bmatrix}$

B = [\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 \end{matrix}]

$B=\begin{bmatrix}1&1&-1\\0&1&-1\\-1&0&1\end{bmatrix}$

— Andrew Morgan

Vâng, đây là một không-khủng khiếp trên ràng buộc trên : , hoặc giả định giả thuyết Riemann, . Điều này là do đối với bất kỳ mẫu số 0 nào cho , kiểm tra xem người ta có thể tạo đang kiểm tra xem một hệ phương trình số nguyên nào đó có giải pháp nào trong và có thể thực hiện được điều này ở phần trên không giới hạn, bởi Koiran. $\mathbb{C}$ $\mathsf{PSPACE}$ $\mathsf{AM}$ $A,B$ $AB=I_n$ $n^2$ $\mathbb{C}$

Một cách tiếp cận khác là cố gắng tận dụng thực tế rằng đây thực tế là một hệ phương trình song tuyến . Giải phương trình song tuyến tương đương với việc tìm các giải pháp "xếp hạng 1" cho phương trình tuyến tính. Tôi đã cố gắng xác định xem có những giới hạn trên tốt hơn để giải quyết các hệ thống song tuyến nói chung, nhưng không có may mắn cho đến nay. Cũng có khả năng người ta có thể tận dụng cấu trúc cụ thể của các phương trình song tuyến này để có được thứ gì đó tốt hơn những gì đã biết nói chung ...

— Joshua Grochow
nguồn

Không phải PSPACE xuất phát từ vấn đề trong NP?

— MB

@MB: Trên các trường hữu hạn, vấn đề rõ ràng là ở NP (chỉ hiển thị cài đặt của các biến), đó là giới hạn trên tốt hơn so với AM, thậm chí. Khi đầu vào là đa thức số nguyên nhưng bạn yêu cầu một giải pháp trong các số phức, khi có một giải pháp, thậm chí không rõ ràng rằng bạn có thể ghi nó vào bất kỳ số lượng bộ nhớ hữu hạn nào, chứ đừng nói đến giới hạn đa thức.

— Joshua Grochow