Có NP hoàn thành bất kỳ vấn đề với không có tập con vô hạn của trường như rằng các thành viên trong Φ thể được quyết định trong thời gian đa thức, và cho tất cả x ∈ Φ , x có thể được giải quyết trong thời gian đa thức? (Giả sử P ≠ N P )
Câu trả lời:
Xem câu trả lời của Josh Grochow cho siêu ngôn ngữ NP hoàn chỉnh của ngôn ngữ hoàn chỉnh NP với vô số chuỗi được loại trừ khỏi nó . Theo câu trả lời đó, theo một số giả định mã hóa tự nhiên, đối với mọi vấn đề đồng NP-đầy đủ có một tập hợp con vô hạn của trường hợp như vậy mà thành viên trong Φ là thời gian đa thức, và các vấn đề quyết định hạn chế Φ là tầm thường (câu trả lời luôn không) .
Điều này có thể được chính thức hóa bằng cách tuyên bố rằng không có bộ đồng NP-hoàn chỉnh nào là miễn dịch P. Người ta cũng biết (một lần nữa theo các giả định về mật mã) rằng không có bộ NP-hoàn chỉnh nào là miễn dịch P. Vì vậy, có một tập hợp con vô hạn như vậy mà thành viên trong Φ ' là thời gian đa thức kiểm chứng và vấn đề quyết định hạn chế Φ ' luôn có có câu trả lời. Xem ví dụ Glasser và cộng sự, "Thuộc tính của bộ NP-Complete", SICOMP 2006, doi: 10.1137 / S009753970444421X .
Một quan sát đầu tiên là việc có chính xác những gì bạn yêu cầu sẽ là bằng chứng cho thấy vì nó có nghĩa là tập hợp tất cả các trường hợp không thể được giải quyết trong thời gian đa thức.
Tuy nhiên, và tôi nghĩ đó là những gì bạn muốn nói, chúng ta có thể chơi một chút với những gì chúng ta muốn nói bằng cách "giải quyết trong thời gian đa thức". Nếu chúng ta có nghĩa là tất cả các tập hợp con vô hạn các trường hợp có thành viên trong P là N P -complete, thì câu trả lời là không bởi Định lý của Mahaney ( http://blog.computationalcomplexity.org/2007/06/spude-sets-tribution -to-mahaney.html ). Định lý này nói rằng không có vấn đề NP-đầy đủ có thể thưa thớt trừ khi P = N P . Bây giờ, lấy tập hợp con của các phiên bản { 0 i ∣ i ∈ N } , chúng ta có một tập hợp con thưa thớt vô hạn của các phiên bản có tư cách thành viên kiểm tra không thể là N P -complete trừ khi P = N P theo Định lý Mahaney.