Bipartite phù hợp với sự thống trị độ

Cho một đồ thị lưỡng cực không trọng số . Có đúng là luôn tồn tại một khớp rỗng M ⊆ E (không nhất thiết là tối đa), như vậy mà cho mỗi ( i , j ) ∈ E với tôi phù hợp và j chưa từng có, nó giữ DEG ( i ) > DEG ( j ) ? Ở đây ( i , j ) không được đặt hàng, tức là tôi có thể ở hai bên.$G=(V, E)$$M\subseteq E$$(i,j)\in E$$i$$j$$\deg(i)>\deg(j)$$(i,j)$$i$

Trực giác của tôi về lý do tại sao điều này là đúng, khi mọi đỉnh trong có cùng một mức độ, luôn có một kết hợp hoàn hảo phù hợp với chúng ta yêu cầu. Đối với một số cấu trúc biểu đồ đơn giản như cây hoặc đồ thị không theo chu kỳ, một kết hợp tối đa là mong muốn vì mức độ của một chiếc lá luôn nhỏ hơn cha mẹ của nó.$V$

Tôi đã cố chứng minh nó từ định lý của Hall nhưng không thành công. Một phần của sự phức tạp của vấn đề này là giải pháp không phải lúc nào cũng phù hợp tối đa. Ví dụ, xem xét một đồ thị gồm hai 4 chu kỳ và d e f g . Khi đó M = { a b , c d } và các đối xứng đối xứng của nó là các giải pháp duy nhất, không phải là tối đa.$abcd$$defg$$M=\{ab,cd\}$

Không phải lúc nào cũng tồn tại sự phù hợp với tài sản của bạn trong biểu đồ lưỡng cực.

$G = (V, E)$

• $V = \{a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3, c_1, c_2, d_1, d_2, x\}$
• $E = \{a_1, a_2\} \times \{c_1, c_2, x\} \cup \{b_1, b_2\} \times \{d_1, d_2, x\} \cup \{(a_3, c_1), (a_3, d_2), (a_3, x), (b_3, d_1), (b_3, c_2), (b_3, x)\}$

$V_1 = \{a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3\}$$V_2 = \{c_1, c_2, d_1, d_2, x\}$$x$$3$$x$$6$

$M$$v_1$$v_2$$M$$M$$v_1$$M$$deg(v_1) > deg(v_2)$

$G$$V \setminus \{x\}$$3$$V \setminus\{x\}$$M$$M$$V_1$$M$$V_1$$V_2$$G$$M$$x$$M$

$M$$G$