Bằng chứng nào về bổ đề này của Hajnal về độ phức tạp truy vấn ngẫu nhiên của các thuộc tính đồ thị đơn điệu?

Trong bài báo này , Hajnal nêu ra bổ đề sau:

Đặt là tập hợp của tất cả các đồ thị lưỡng cực có n đỉnh ở phần bên trái và m đỉnh ở phần bên phải. Giả sử P ⊆ G n , m là không phổ biến, đơn điệu và bất biến đối với các đồng phân đồ thị lưỡng cực. Sắp xếp tập hợp các đồ thị tối thiểu có thuộc tính P theo từ vựng theo danh sách được sắp xếp theo độ của các đỉnh trái và để G là đồ thị tối thiểu đầu tiên có thuộc tính P theo thứ tự này. Sau đó, các lỗi zero ngẫu nhiên truy vấn phức tạp của P là Ω ( Δ $\mathscr{G}_{n, m}$$n$$m$$\mathscr{P} \subseteq \mathscr{G}_{n, m}$$\mathscr{P}$$G$$\mathscr{P}$$\mathscr{P}$, nơiΔL(G)là mức độ tối đa của bất kỳ đỉnh ở phía bên trái củaGvàδL(G)là mức độ trung bình của các đỉnh ở phía bên trái củaG.$\Omega(\frac{\Delta_L(G)}{\delta_L(G)} n)$$\Delta_L(G)$$G$$\delta_L(G)$$G$

(Trên thực tế, Hajnal thực sự sử dụng một phần mở rộng nhỏ của bổ đề trên.) Bổ đề tương tự cũng được Gröger sử dụng trong bài báo khác này và bởi Chakrabarti và Khot trong bài báo khác này . Nhưng tôi không thể tìm ra bằng chứng về bổ đề của Hajnal. Hajnal gán bổ đề cho Yao và trích dẫn bài báo này . Nhưng bài báo của Yao không thực sự khẳng định bổ đề đó ở dạng đó.

Giấy của Yao đã chứng minh một bổ đề liên quan chặt chẽ. (Bổ đề 5 trong giấy Yao, hoặc tương đương Bổ đề 6 trong phiên bản tạp chí này giấy Yao .) Bằng cách thích nghi với những bằng chứng về bổ đề trong bài báo của Yao, tôi thấy làm thế nào để chứng minh Bổ đề Hajnal của theo giả định thêm rằng . Tôi gặp rắc rối với trường hợp δ L ( G ) là phụ.$\delta_L(G) \geq \Omega(1)$$\delta_L(G)$

$\lambda(n)$$\delta_L(G)$$\mu(n)$$\Delta_L(G)$$\frac{\Delta_L(G) - 4\delta_L(G)}{\lceil 4 \delta_L(G) \rceil} \cdot \frac{n}{2}$

$\delta_L(G)$$O(\Delta_L(G) n)$$\frac{\Delta_L(G)}{\delta_L(G)} n$$T_i'$

Làm thế nào bằng chứng có thể được vá?

$\Omega(\frac{\Delta_L(G)}{\lceil \delta_L(G) \rceil} n)$