(Làm thế nào) Chúng ta có thể khám phá / phân tích các vấn đề NP khi không có mô hình tính toán Turing không?

Từ quan điểm toán học / lý luận tính toán hoàn toàn trừu tượng, người ta thậm chí có thể khám phá hoặc suy luận về các vấn đề như 3-SAT, Subset Sum, Nhân viên bán hàng du lịch, v.v.? Chúng ta thậm chí có thể suy luận về chúng theo bất kỳ cách có ý nghĩa nào chỉ với quan điểm chức năng không? Nó thậm chí sẽ có thể?

Tôi đã nghiên cứu kỹ câu hỏi này hoàn toàn từ quan điểm tự tìm hiểu như là một phần của việc học mô hình tính toán lambda. Tôi hiểu rằng đó là "không trực quan" và đó là lý do Godel ưa thích mô hình Turing. Tuy nhiên, tôi chỉ muốn biết những hạn chế lý thuyết đã biết của kiểu tính toán chức năng này và mức độ cản trở của việc phân tích lớp NP của các vấn đề là gì?

Bạn có thể muốn xem xét ngữ nghĩa chi phí cho các ngôn ngữ chức năng . Đây là các biện pháp phức tạp tính toán khác nhau cho các ngôn ngữ chức năng không đi qua bất kỳ loại máy Turing, máy RAM, v.v. Một nơi tốt để bắt đầu tìm kiếm là bài Lambda the Ultimate này , có một số tài liệu tham khảo tốt hơn.

Phần 7.4 của Cơ sở thực tiễn cho Ngôn ngữ lập trình của Bob Harper giải thích về ngữ nghĩa chi phí.

Các giấy Trên ích tương đối của quả cầu lửa bởi Accattoli và Coen cho thấy -calculus có ít nhất Blowup tuyến tính đối với mô hình máy RAM với.$\lambda$

Tóm lại, trên hành tinh khác này, mọi thứ sẽ khá giống với NP, nhưng sẽ có ít tràn bộ đệm hơn và sẽ không có nhiều rác thải nằm xung quanh.

Theo yêu cầu của Andrej và Tiến sĩ, tôi đang biến nhận xét của mình thành câu trả lời, với lời xin lỗi vì tự quảng cáo.

Gần đây tôi đã viết một bài báo trong đó tôi xem cách chứng minh định lý Cook-Levin ( -completility of SAT) bằng ngôn ngữ chức năng (một biến thể của-tính toán) thay vì máy Turing. Tóm tắt:$\mathsf{NP}$

• khái niệm chính là các xấp xỉ affine, nghĩa là xấp xỉ các chương trình tùy ý bằng các chương trình affine (có thể sử dụng đầu vào của chúng nhiều nhất một lần); trực giác là nên affineλ-terms tính độc đoán gần đúng tùy ý cũng giống như mạch Boolean; $$\frac{\text{Boolean circuits}}{\text{Turing machines}}=\frac{\text{affine $\lambda$-terms}}{\text{$\lambda$-terms}}$$ $\lambda$
• Kết quả cuối cùng là, trong thế giới -calculus, bằng chứng là nhiều "cấp cao", nó sử dụng lý thuyết trật tự, Scott-liên tục vv thay vì hack mạch Boolean; đặc biệt, khẩu hiệu "tính toán là cục bộ" (được nhiều người đưa ra khi thông điệp nằm dưới định lý Cook-Levin) trở thành "tính toán là liên tục", như mong đợi;$\lambda$
• tuy nhiên, vấn đề -complete "tự nhiên" không phải là CIRCUIT SAT mà là HO CIRCUIT SAT, một loại "khả năng giải quyết" của các thuật ngữ tuyến tính hay chính xác hơn là các lưới chứng minh logic tuyến tính cao hơn (giống như các mạch Boolean bậc cao) ;$\mathsf{NP}$
• tất nhiên, sau đó người ta có thể giảm HO CIRCUIT SAT xuống CIRCUIT SAT, do đó chứng minh định lý Cook-Levin thông thường, và các chi tiết cấp thấp, đẫm máu đều được chuyển sang xây dựng mức giảm như vậy.

$\mathsf{NP}$

$\lambda$$\lambda$

$\mathsf{NP}$

$\lambda$

$\lambda$

$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{coNP}$$\lambda$

$\lambda$$\lambda$

$\mathsf{NP}$$\lambda$, nó không thực sự quan trọng nếu bạn biết rằng trực giác của bạn là âm thanh. Máy Turing đã đưa ra một câu trả lời ngay lập tức, khả thi và mọi người không (và vẫn không) cảm thấy cần phải đi xa hơn.