Không tham số kép tiêu chuẩn của các vấn đề đồ thị

Một kết quả cơ bản trong độ phức tạp được tham số hóa của các vấn đề đồ thị là VERTEX COVER được tham số hóa bởi kích thước giải pháp là cố định tham số có thể điều chỉnh (FPT). Mặt khác, khi được tham số hóa bởi "tham số kép" , nó trở nên tương đương với INDEPENDENT SET được tham số hóa bởi kích thước giải pháp (vì bất kỳ nắp đỉnh nào cũng là phần bù của một tập độc lập), và do đó, nó là W [1] -hard.| V ( G ) | - $k$$|V(G)|-k$

Mặc dù điều này có vẻ ít tự nhiên hơn, tôi quan tâm đến độ phức tạp được tham số hóa của VERTEX COVER cho tham số . Đây là một tham số lớn hơn . VERTEX COVER FPT cho tham số này?| V ( G ) | - $|E(G)|-k$$|V(G)|-k$

Lưu ý: Tôi cũng quan tâm đến các tham số hóa tương tự cho các vấn đề đồ thị khác (ví dụ: THIẾT LẬP TÊN). Nơi duy nhất mà tôi đã thấy cả hai loại tham số kép được nghiên cứu là về vấn đề siêu dữ liệu TEST COVER trong bài báo năm 2012 " Nghiên cứu tham số về vấn đề bao phủ thử nghiệm " của Crowston, Gutin, Jones, Saurabh và Yeo. (cũng trên arXiv )

Chỉnh sửa (04/12/2016): Việc tham số hóa này cũng được nghiên cứu cho vấn đề siêu dữ liệu khác HITTING SET trong bài báo Kernels năm 2011 về các tham số hóa giới hạn dưới của tập hợp đánh và các vấn đề tập hợp định hướng của Gutin, Mones và Yeo ( arXiv liên kết ).

Đặtvà. Thông số kép luôn luôn lớn nhất bằng , lần lượt ít nhất là lớn bằng kích thước của một bộ cạnh phản hồi, một tập hợp các cạnh mà việc loại bỏ của nó tạo ra chu kỳ.m : = | E ( G ) | m - k m - n $n:=|V(G)|$$m:= |E(G)|$$m-k$$m-n$$G$

Kích thước của bộ cạnh phản hồi nhỏ nhất, hãy gọi nó là số cạnh phản hồi , ít nhất cũng lớn bằng số đỉnh phản hồi và treewidth của biểu đồ. Điều này trực tiếp ngụ ý rằng Vertex Cover có thể điều chỉnh tham số cố định cho . Hơn nữa, nó có một hạt nhân đa thức kể từ khi Vertex Cover được tham số hóa bởi số đỉnh phản hồi có một (điều này được Jansen và Bodlaender thể hiện trong Vertex Cover Kernelization Revisited - Giới hạn trên và dưới cho một tham số tinh chỉnh. Lý thuyết tính toán. 53 (2): 263-299 (2013), http://dx.doi.org/10.1007/s00224-012-9393-4 ).m - $\phi$$m-k$

Một hạt nhân tuyến tính trực tiếp đơn giản cho Vertex Cover được tham số hóa bằng số cạnh phản hồi nên có thể đạt được như sau: Xóa tất cả các đỉnh độ 0, thêm hàng xóm của bất kỳ đỉnh độ 1 nào vào nắp đỉnh và giảm các đường dẫn của đỉnh độ 2 có chứa ít nhất 2 đỉnh (giảm giới hạn trên tương ứng). Sau khi áp dụng triệt để các quy tắc giảm này, trong biểu đồ kết quả . Điều này trực tiếp ngụ ý một hạt nhân cho tham số lớn hơn .k n = O ( ϕ ) m - $\phi$$k$$n=O(\phi)$$m-k$

Để trả lời câu hỏi của bạn để tham khảo: Tôi sẽ tìm số cạnh phản hồi nhỏ hơn tham số kép , đã được xem xét trong tài liệu và thường đưa ra kết quả khả năng lưu thông số cố định cho Bộ thống trị (vì tham số này khá lớn) . Dưới đây là ba ví dụ khác:$m-k$

Johannes Uhlmann, Mathias Weller: Planarization hai lớp được tham số hóa bằng bộ cạnh phản hồi. Lý thuyết. Tính toán. Khoa học. 494: 99-111 (2013), http://dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2013.01.029

André Nichterlein, Rolf Niedermeier, Johannes Uhlmann, Mathias Weller: Về các trường hợp dễ điều khiển của Lựa chọn mục tiêu. Mạng xã hội. Phân tích. Khai thác 3 (2): 233-256 (2013), http://dx.doi.org/10.1007/s13278-012-0067-7

Sepp Hartung, Christian Komusiewicz, André Nichterlein: Thuật toán tham số hóa và các thí nghiệm tính toán để tìm kiếm 2 câu lạc bộ. J. Thuật toán đồ thị Appl. 19 (1): 155-190 (2015), http://dx.doi.org/10.7155/jgaa.00352

Tôi nghĩ vấn đề này là FPT. Giả sử rằng đồ thị chứa một đường dẫn trên các đỉnh . Sau đó, tôi khẳng định câu trả lời là CÓ: chúng tôi chọn các đỉnh thứ hai, thứ tư, thứ sáu, v.v. của đường dẫn này trong một giải pháp và xóa chúng khỏi biểu đồ. Bây giờ chúng ta có một biểu đồ với . Có thể dễ dàng tìm thấy một đỉnh của với kích thước tối đa. Cùng với các đỉnh loại bỏ điều này mang lại một trải đỉnh của kích thước tối đa là cho .G ′ | E ( G ' ) | ≤ | E ( G ) | - 2 k G ′ | E ( G ' ) | | E ( G ) | - k $2k+1$$G'$$|E(G')|\le |E(G)|-2k$$G'$$|E(G')|$$|E(G)|-k$$G$

Nếu biểu đồ không chứa đường dẫn trên các đỉnh , thì cây DFS của biểu đồ có chiều cao tối đa là và do đó có thể được sử dụng để xây dựng phân tách chiều rộng của cây nhiều nhất là . Sau đó, chúng tôi có thể giải quyết tối ưu Vertex Cover bằng thuật toán tiêu chuẩn cho treewidth.2 k + 1 2 $2k+1$$2k+1$$2k$