TSP Euclide trong NP và độ phức tạp căn bậc hai

Trong bài giảng này ghi chú của Ola Svensson: http://theory.epfl.ch/osven/cifts/Approx13/Notes/lecture4-5.pdf , người ta nói rằng chúng ta không biết liệu ESPidean TSP có ở NP không:

Lý do là chúng ta không biết cách tính căn bậc hai một cách hiệu quả.

Mặt khác, có bài viết này của Papadimitriou: http://www.scTHERirect.com/science/article/pii/0304397577900123 nói rằng nó là NP-đầy đủ, cũng có nghĩa là nó nằm trong NP. Mặc dù anh ấy không chứng minh điều đó trong bài báo, tôi nghĩ anh ấy coi tư cách thành viên trong NP tầm thường, như thường xảy ra với những vấn đề như vậy.

Tôi bối rối bởi điều này. Thành thật mà nói, tuyên bố mà chúng tôi không biết nếu Euclidian TSP ở NP làm tôi sốc, vì tôi chỉ cho rằng đó là chuyện nhỏ - lấy tour TSP làm chứng chỉ, chúng tôi có thể dễ dàng kiểm tra xem đó là chuyến tham quan hợp lệ. Nhưng vấn đề là có thể có một số căn bậc hai. Vì vậy, các bài giảng về cơ bản tuyên bố rằng chúng ta không thể trong thời gian đa thức giải quyết vấn đề sau:

Với hợp lý số , quyết định xem $q_1,\ldots,q_n,A\in\mathbb{Q}$.$\sqrt{q_1}+\cdots+\sqrt{q_n}\leq A$

Câu hỏi 1: Chúng ta biết gì về vấn đề này?

Điều này cầu xin sự đơn giản hóa sau đây, mà tôi không thể tìm thấy:

Câu 2: Đây có phải là trường hợp đặc biệt khi không? Là trường hợp đặc biệt này thời gian đa thức có thể giải quyết?$n=1$

Suy nghĩ về nó một lúc, tôi đã đến đây. Chúng tôi muốn độ phức tạp thời gian đa thức liên quan đến số bit của đầu vào, tức là không phải kích thước của chính các số đó. Chúng ta có thể dễ dàng tính tổng cho một số thập phân đa thức. Để có được một trường hợp xấu, chúng ta cần một thể hiện của cho k $q_{1,k},\ldots,q_{n,k},A_k\in\mathbb{Q}$ như vậy mà cho tất cả các đa thức p , có tồn tại một số nguyên k đến nỗi$k=1,2,\ldots$$p$$k$ vàAkđồng ý về cácchữ sốp(kích thước đầu vào)đầu tiêncủa khai triển thập phân.$\sqrt{q_{1,k}}+\cdots+\sqrt{q_{n,k}}$$A_k$$p(\text{input-size})$

Câu hỏi 3: Có một ví dụ nào về số lượng không?

Nhưng là gì? Điều này phụ thuộc vào cách các số hữu tỷ được trình bày! Bây giờ tôi tò mò về điều này:$\text{input-size}$

Câu hỏi 4: Có phải là thuật toán quan trọng nếu số hợp lý được cho là tỉ số của hai số nguyên (ví dụ như ) hoặc trong việc mở rộng số thập phân (ví dụ như 2,5334 ¯ 567 )? Nói cách khác, có một họ các số hữu tỷ sao cho kích thước của khai triển thập phân không bị giới hạn về mặt đa thức trong kích thước của biểu diễn tỷ lệ hay ngược lại?$24/13$$2.5334\overline{567}$

Q1. Đây là một vấn đề mở khét tiếng. Nó được biết là ở cấp độ thứ tư của hệ thống phân cấp đếm , do [ABKM] . Không biết là ở NP. Vấn đề không thực sự nằm ở tính toán căn bậc hai như đã nêu trong bài giảng: bit của căn bậc hai của một số nguyên có thể được tính theo đa thức thời gian theo n và bitize của số nguyên. Vấn đề là, làm thế nào gần tổng số căn bậc hai của số nguyên có thể đến một số nguyên, mà không thực sự là tích phân.$n$$n$

Quý 2 Trường hợp là tất nhiên dễ dàng. Nó giống như$n=1$ , đó là trong thời gian đa thức, bởi vì bình phương một số hợp lý là trong thời gian đa thức.$q \le A^2$

H3 Theo trang này , tốt nhất mà được biết đến là có nguyên , tất cả giữa 1 và n , sao cho | Σ k i = 1$a_1, \ldots, a_k, b_1, \ldots, b_k$$1$$n$. Đây là giới hạn dưới củaΩ(2k$| \sum_{i = 1}^k \sqrt{a_i} - \sum_{i = 1}^k \sqrt{b_i}| = O(n^{-2k + 3/2})$ về số lượng bit cần thiết được tính cho bài toán khó hơn có thể cho phép các hệ số âm. Giới hạn trên tốt nhất về số lượng bit là số mũ tính theo k .$\Omega(2k\log n)$$k$

Q4. Tôi nghĩ rằng biểu diễn thập phân có thể không hiệu quả. Độ dài của khoảng thời gian là thứ tự nhân của 10 modulo mẫu số, có thể là số mũ của số bit của mẫu số.

Bạn đã viết:

Mặt khác, có bài viết này của Papadimitriou: http://www.scTHERirect.com/science/article/pii/0304397577900123 nói rằng nó là NP-đầy đủ, cũng có nghĩa là nó nằm trong NP. Mặc dù anh ấy không chứng minh điều đó trong bài báo, tôi nghĩ anh ấy coi tư cách thành viên trong NP tầm thường, như thường xảy ra với những vấn đề như vậy.

Tại sao bạn không chỉ đơn giản là đọc báo, thay vì đăng những yêu cầu vô nghĩa như vậy? Trên trang 239, Papadimitriou thảo luận cẩn thận về các vấn đề này và xác định biến thể cơ bản của số liệu Euclide cho bằng chứng của mình.