Sự ngẫu nhiên thực sự (có thể chứng minh) có thể được thay thế bằng ngẫu nhiên Kolmogorov cho RP không?

Đã có bất kỳ nỗ lực nào cho thấy tính ngẫu nhiên của Kolmogorov sẽ đủ cho RP chưa? Xác suất được sử dụng trong câu lệnh "Nếu câu trả lời đúng là CÓ, thì nó (máy Turing xác suất) trả về CÓ với xác suất ..." có luôn được xác định rõ trong trường hợp đó không? Hoặc sẽ chỉ có giới hạn trên và dưới cho xác suất đó? Hoặc sẽ chỉ luôn luôn có một số máy Turing xác suất, trong đó xác suất sẽ được xác định rõ (hoặc ít nhất là giới hạn dưới phải lớn hơn 1/2)?

RP lớp ở đây tương đối tùy ý và người ta cũng có thể đặt câu hỏi này cho các khái niệm yếu hơn về tính ngẫu nhiên (giả) so với ngẫu nhiên Kolmogorov. Nhưng ngẫu nhiên Kolmogorov dường như là một điểm khởi đầu tốt.

Ý nghĩa của từ "xác suất" sẽ là một phần trong nỗ lực cho thấy tính ngẫu nhiên của Kolmogorov hoạt động cho RP. Tuy nhiên, hãy để tôi thử mô tả một cách tiếp cận có thể, để làm rõ ý nghĩa của nó và lý do tại sao tôi nói về giới hạn trên và dưới:

Đặt là một chuỗi (Kolmogorov ngẫu nhiên). Đặt là máy Turing xác suất đã cho tương ứng với ngôn ngữ từ RP. Chạy với là nguồn cho các bit ngẫu nhiên lần, tiếp tục tiêu thụ các bit chưa được phát hiện trước đó từ lần này lần khác.A A s n $s$$A$$A$$s$$n$$s$

Đối với , hãy và p _- ^ s: = \ liminf_ {n \ to \ infty} p_n ^ s . Quan sát rằng p _ + ^ s và p _- ^ s được xác định rõ cho một chuỗi s đã cho , ngay cả khi nó không ngẫu nhiên. Nhưng người ta có thể tự hỏi liệu p _ + ^ s = p _- ^ s trong trường hợp s là ngẫu nhiên Kolmogorov hay liệu p _- ^ {s_1} = p _- ^ {s_2} cho hai chuỗi ngẫu nhiên Kolmogorov s_1 và s_2 . Hoặc liệu có tồn tại p \ geq 1/2 sao cho p \ leq p _- ^ s cho bất kỳ chuỗi ngẫu nhiên Kolmogorov nào$p_n^s:=\frac{\text{#YES result in first $n$ runs of $A$ on $s$}}{n}$$p_+^s:=\limsup_{n\to\infty}p_n^s$$p_-^s:=\liminf_{n\to\infty}p_n^s$$p_+^s$$p_-^s$$s$$p_+^s=p_-^s$$s$$p_-^{s_1}=p_-^{s_2}$$s_1$$s_2$$p\geq 1/2$$p\leq p_-^s$$s$ .

Tôi nghĩ rằng câu hỏi đang được hỏi ở đây đại khái là " có ý nghĩa trong đó chúng ta có thể thay thế chuỗi bit ngẫu nhiên trong thuật toán bằng các bit được rút ra một cách xác định từ chuỗi ngẫu nhiên Kolmogorov dài thích hợp không? " Đây ít nhất là câu hỏi tôi sẽ cố gắng câu trả lời! (Câu trả lời ngắn gọn là "Có, nhưng chỉ khi bạn khuếch đại xác suất lỗi trước")

Đúng...

Chúng tôi chắc chắn có thể nói một cái gì đó ở đây. Đặt là ngôn ngữ nào đó và đặt là thuật toán lấy đầu vào và chuỗi ngẫu nhiên (phân phối đồng đều trên ) st . Nói cách khác, là một thuật toán sai với xác suất nhiều nhất là .$L$$A$$x$$r\in U_{f(|x|)}$$\{0,1\}^{f(|x|)}$$\Pr[A(x,r)=L(x)]>1-\epsilon(x)$$A$$\epsilon(\cdot)$

Bây giờ hãy lưu ý rằng nếu đưa ra câu trả lời sai trên tức là , thì điều này cho chúng ta một số phương tiện để mô tả , đặc biệt, chúng ta có thể mô tả nó như là -th chuỗi làm cho sai trênĐể làm điều này, chúng ta chỉ cần tạo ra máy có mã hóa cứng , , và bit và chỉ liệt kê các lựa chọn của từ cho đến khi tìm thấy lựa chọn thứ của sao cho .$A$$(x,r)$$A(x,r)\not=L(x)$$r$$i$$A$$x.$$x$$A$$i$$b=1\iff x\in L$$r'$$\{0,1\}^{f(|x|)}$$i$$r'$$A(x,r')\not= b$

Vì vậy, bây giờ chúng ta biết rằng chúng ta có thể tận dụng sự lựa chọn tồi của chuỗi ngẫu nhiên vào mô tả, hãy quan sát một số điều kiện đủ để biến mô tả của chúng ta thành nén. Để mô tả , chúng tôi yêu cầu đủ bit để mô tả , , và sau đó là mã cho quy trình của chúng tôi (mã cho và quy trình chúng tôi đã mô tả), đưa ra như một mô tả về độ dài$r$$r$$x$$i$$b$$A$

Hãy nhớ rằng là độ dài , vì vậy đây là nén của if ví dụ: khi .$r$$f(|x|)$$r$

Cuối cùng, quan sát rằng nếu là một chuỗi ngẫu nhiên Kolmogorov, thì chúng ta không thể có nén như vậy, miễn là xác suất lỗi của đủ nhỏ, một chuỗi ngẫu nhiên Kolmogorov thay cho chuỗi các bit ngẫu nhiên sẽ khiến trả lời chính xác!$r$$A$$A$

Lưu ý rằng điều duy nhất chúng ta tận dụng về là xác suất lỗi của nó là nhỏ. Chúng tôi không quan tâm nếu có thời gian chạy cực kỳ dài hoặc nếu có một hoặc hai lỗi.$A$$A$$A$

Đưa câu hỏi này trở lại câu hỏi về (hoặc hoặc ), điều này nói rằng miễn là chúng ta khuếch đại xác suất lỗi của các thuật toán của mình, chúng ta có thể sử dụng các chuỗi ngẫu nhiên Kolmogorov thay cho các bit ngẫu nhiên của chúng.$RP$$coRP$$BPP$

... Nhưng chỉ khi chúng ta khuếch đại trước.

Một câu hỏi tiếp theo có thể là "tôi có thể làm điều này mà không khuếch đại xác suất lỗi không?" Hãy xem xét thuật toán quyết định và có xác suất lỗi .$A$$\{0,1\}^*$$1/2^n$

Trên đầu vào :$x$

• Tạo một chuỗi$r\in\{0,1\}^n$
• Nếu , từ chối.$r=x$
• Chấp nhận.

Chú ý rằng đối với mỗi lựa chọn , có một số lựa chọn của như vậy errs trên , cụ thể là sự lựa chọn của đó là , vì vậy chúng tôi không thể thay thế các chuỗi ngẫu nhiên của các bit được sử dụng bởi với một chuỗi ngẫu nhiên Kolmogorov mà không cần khuếch đại đó là xác suất lỗi!$r$$x$$A$$x$$r$ $x$$A$

Lưu ý về nguồn: Tôi không chắc liệu đây có phải là tiểu thuyết không, nhưng tôi đã bao gồm đối số đầu tiên trong bài viết của mình cho bài kiểm tra đủ điều kiện cuối cùng sẽ có sẵn trực tuyến sau khi tôi hoàn thành việc sửa đổi nó.