Danh mục máy tính của Turing?

Disclaimer: Tôi biết rất ít về lý thuyết phức tạp.

Tôi xin lỗi nhưng thực sự không có cách nào để hỏi câu hỏi này mà không ngắn gọn (khủng khiếp):

Các hình thái trong "loại" máy Turing là gì?

Điều này rõ ràng là chủ quan và phụ thuộc vào sự giải thích của một người về lý thuyết, vì vậy một câu trả lời cho câu hỏi này lý tưởng nên đưa ra một số bằng chứng và lý luận hỗ trợ câu trả lời là tốt.

Tôi muốn nhấn mạnh điểm mà tôi đang tìm kiếm một loại máy Turing chứ không phải ngôn ngữ chính thức chẳng hạn. Cụ thể, tôi nghĩ rằng hình thái của tôi nên chứa thông tin tốt hơn sau đó giảm hoặc bất cứ điều gì tương tự (mặc dù tôi không chắc chắn).

Tất nhiên, nếu đã có một thể loại nổi tiếng và được sử dụng trong tài liệu, tôi muốn biết nó là gì.

cc.complexity-theory turing-machines ct.category-theory

— Saal Hardali
nguồn

Bạn tự nói điều đó - chức năng tính toán.

— Yuval Filmus

@Raphael điều là bạn không bao giờ thực sự xác định cấu trúc cho đến khi bạn đặt nó trong một danh mục. Đó là khi các tính năng không cần thiết của định nghĩa cụ thể bị loại bỏ.

— Saal Hardali

@SaalHardali Hãy nhớ rằng không phải ai cũng đăng ký lời hứa cứu rỗi được thực hiện bởi các nhà lý thuyết thể loại. Trong thực tế, nhiều người đảo mắt.

— Raphael

@JoshuaGrochow Có một hình thái được dán nhãn từ đến nếu giảm thành (hoặc có lẽ theo cách khác), đó là . Điều này có nghĩa là, đối với các máy mà trên mỗi đầu vào có thể dừng hoặc không, nhưng không có bất kỳ đầu ra nào nữa.

f

$f$

T_{1}

$T_1$

T_{2}

$T_2$

f

$f$

T_{2}

$T_2$

T_{1}

$T_1$

T_{1} (x) = T_{2} (f (x))

$T_1(x) = T_2(f(x))$

— Yuval Filmus

Ngoài ra: tại sao TM nên là đối tượng? Họ cũng có thể là hình thái.

— Martin Berger

Câu trả lời:

Saal Hardali đã đề cập rằng ông muốn có một loại máy Turing để thực hiện hình học (hoặc ít nhất là lý thuyết đồng luân). Tuy nhiên, có rất nhiều cách khác nhau để đạt được mục tiêu tương tự.

Có một sự tương đồng rất mạnh mẽ giữa khả năng tính toán và cấu trúc liên kết. Trực giác là sự chấm dứt / không kết thúc giống như không gian Sierpinki, vì sự chấm dứt có thể quan sát được một cách hữu hạn (nghĩa là mở) và không bị hủy không (không mở). Xem ghi chú bài giảng của Martin Escardo Cấu trúc liên kết tổng hợp của các loại dữ liệu và không gian cổ điển để có phần giới thiệu vừa phải nhưng nhẹ nhàng cho những ý tưởng này.
Trong tính toán đồng thời và phân tán, thường hữu ích khi nghĩ về các thực thi có thể có của một chương trình như là một khoảng trắng, và sau đó các ràng buộc đồng bộ hóa khác nhau có thể được biểu thị như các thuộc tính đồng âm của không gian. (Thực tế là việc thực thi có một trật tự thời gian dường như kêu gọi lý thuyết đồng luân trực tiếp, hơn là lý thuyết đồng luân thông thường.)

Xem bài viết của Eric Goubault Một số quan điểm hình học về Lý thuyết đồng thời để biết thêm chi tiết. Cũng xem bài viết giành giải thưởng Goedel của Maurice Herlihy và Nir Shavit, Cấu trúc cấu trúc liên kết của tính toán không đồng bộ , giải quyết một số vấn đề mở từ lâu trong lý thuyết về lập trình phân tán.
Một ý tưởng thứ ba xuất hiện thông qua lý thuyết loại đồng luân, thông qua khám phá rằng lý thuyết loại Martin-Löf (có khả năng?) Là một bài trình bày cú pháp (theo nghĩa của máy phát điện và quan hệ) của lý thuyết về omega-groupoid - tức là các mô hình trừu tượng lý thuyết đồng luân. Giới thiệu tốt nhất cho những ý tưởng này là cuốn sách lý thuyết kiểu đồng luân .

Lưu ý rằng tất cả những ý tưởng này rất khác nhau, nhưng tất cả vẫn sử dụng trực giác hình học! Và vẫn còn những thứ khác, mà tôi không biết, như những ứng dụng phát sinh trong lý thuyết phức tạp hình học, và cách mà các lý thuyết về mạch có thể được mô tả theo lý thuyết tương đồng (đồng) của đồ thị .

Về cơ bản, khi bạn đang làm CS, hình học là một công cụ - bạn sử dụng nó để chính thức hóa trực giác của mình, để bạn có thể có được đòn bẩy thông qua khối lượng công việc khổng lồ đã được thực hiện trên nó. Nhưng đó là một bộ khuếch đại ý tưởng, không thay thế cho việc có ý tưởng!

— Neel Krishnaswami
nguồn

Nếu đối tượng của bạn là máy Turing, có một số khả năng hợp lý cho hình thái. Ví dụ:

1) Coi máy Turing là máy tự động, và xem xét các hình thái thông thường của máy tự động (bản đồ giữa bảng chữ cái và trạng thái phù hợp với nhau) cũng bảo toàn chuyển động của đầu băng hoặc ngược lại chính xác chúng (ví dụ: bất cứ khi nào TM nguồn đi bên trái, TM đích sẽ đi bên phải và ngược lại).

2a) Xem xét mô phỏng hoặc bisimulations .

$T_1$ $T_2$ $f$ $T_1(x) = T_2(f(x))$ $x$

3) Xem xét biểu đồ chuyển tiếp của máy Turing (mỗi đỉnh là một mô tả đầy đủ về trạng thái của máy và các băng, với các cạnh được định hướng tương ứng với các chuyển đổi mà TM sẽ thực hiện) và xem xét các hình thái của đồ thị. Tuy nhiên, đối với các TM, đây là một mối quan hệ rất thô, vì về cơ bản, nó bỏ qua tính chất cục bộ của tính toán (ví dụ, nó bỏ qua nội dung của các băng là gì).

Tôi nghĩ câu hỏi thực sự là: bạn muốn biết gì về TM hoặc làm gì với chúng? Trong trường hợp không có điều này, thật khó để đưa ra lập luận cho bất kỳ định nghĩa nào so với định nghĩa khác, ngoài tính tự nhiên (theo nghĩa thông thường của từ này, không phải ý nghĩa phân loại).

— Joshua Grochow
nguồn

Tôi rất mới với loại toán này. Tôi đã đọc về quá khứ về lý thuyết phức tạp nhưng chỉ gần đây tôi mới nhặt lại được sau khi tôi thấy ai đó trên internet tuyên bố rằng bằng cách nào đó các kỹ thuật cohomological sẽ đi vào lý thuyết phức tạp trong thế kỷ tiếp theo và nó khiến tôi quan tâm. Sau khi đọc một số, tôi nhận ra rằng ngoài một số hiểu biết hời hợt về định nghĩa của một máy Turing, về cơ bản tôi không biết nó mã hóa chính xác những gì. Đó là cách tôi đi đến câu hỏi. Vì vậy, bạn có thể nói rằng ở một mức độ rất thô sơ, tôi đang cố gắng tưởng tượng làm thế nào cohomology có thể đi vào lý thuyết phức tạp.

— Saal Hardali

Tôi nhận ra điều này là quá sớm đối với một người như tôi, người hiểu rất ít về chủ đề này. Tôi vẫn muốn chơi một chút với ý tưởng này trong đầu "thực hiện lý thuyết đồng luân về thể loại máy turing". Câu trả lời của bạn rất hay và tôi chắc chắn nhằm mục đích đọc thêm về các khía cạnh của nó. Cảm ơn bạn.

— Saal Hardali

@SaalHardali: Tôi tò mò nơi bạn đọc rằng cohomology sẽ đi vào lý thuyết phức tạp? Tôi có thể nghĩ ra hai cách, nhưng tôi chưa thấy một lộ trình thông qua lý thuyết loại đồng luân (có lẽ vì tôi chưa hiểu rõ về HoTT đủ). Hai cách tôi có thể thấy: (1) trong điện toán phân tán điều này đã xảy ra, viz. Herlihy và Rajsbaum, và (2) thông qua lý thuyết phức tạp hình học.

— Joshua Grochow

Theo lý thuyết đồng luân, tôi đã tham gia vào ý tưởng chung về nghiên cứu các danh mục có tương đương yếu và không quá nhiều HoTT. Tôi đã đọc nó trong một cuộc thăm dò về P =? NP không khó để tìm thấy Tôi nghĩ rằng nó được liên kết đến từ một trong những câu hỏi trên trang web này. Tôi đoán phỏng đoán đầu tiên của tôi (với tư cách là người ngoài cuộc) là có thể có một loại tương đương yếu thú vị nào đó trên một loại mô hình tính toán tương ứng với các lớp phức tạp bằng cách nào đó và sau đó nghiên cứu functor bất biến dưới những tương đương yếu này sẽ tạo thành cái mà tôi gọi là " lý thuyết đồng luân "điều này có lẽ rất ngây thơ và hoàn toàn bỏ lỡ.

— Saal Hardali

Trong trường hợp sở thích của bạn là lý thuyết phức tạp thay vì lý thuyết tính toán, có thể câu trả lời này hữu ích cho bạn: cstheory.stackexchange.com/a/3422/4896

— Sasho Nikolov

Bạn có thể quan tâm đến các thể loại Turing của Robin Cockett và Pieter Hofstra. Từ quan điểm của lý thuyết loại câu hỏi "là những gì các chủng loại máy Turing" là ít thú vị hơn "những gì là cấu trúc phân loại làm nền tảng cho tính toán". Do đó, Robin và Pieter xác định một loại thể loại chung phù hợp để phát triển lý thuyết tính toán. Sau đó, có một số khả năng để xác định danh mục như vậy bắt đầu từ các máy Turing. Tại sao có một danh mục khi bạn có thể có cả một danh mục?

— Andrej Bauer
nguồn