Tại sao cắt giảm thủ tục loại bỏ chấm dứt (trường hợp co)?

Trong khảo sát của Melliès Phân loại ngữ nghĩa của logic tuyến tính , một quy trình loại bỏ cắt đối với logic tuyến tính trực giác được đưa ra bao gồm các trường hợp sau:

3.9.3 Khuyến mãi so với thu hẹp
Bằng chứng được chuyển thành bằng chứng $\frac{\frac{\frac{π_{1} ⋮}{! Γ ⊢ Một}}{! Γ ⊢! Một} Khuyến mãi \frac{\frac{π_{2} ⋮}{Υ_{1},! Một,! Một, Υ_{2} ⊢ B}}{Υ_{1},! Một, Υ_{2} ⊢ B} Co thắt}{Υ_{1},! Γ, Υ_{2} ⊢ B} Cắt$ $\displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\pi_1\\\vdots}{!\Gamma \vdash A}}{!\Gamma \vdash !A} \text{ Promotion} \qquad \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\pi_2\\\vdots}{\Upsilon_1 , !A , !A , \Upsilon_2 \vdash B}}{\Upsilon_1 , !A , \Upsilon_2 \vdash B} \text{ Contraction} }{ \Upsilon_1 , !\Gamma , \Upsilon_2 \vdash B } \text{ Cut}$ $\frac{\frac{\frac{π_{1} ⋮}{! Γ ⊢ Một}}{! Γ ⊢! Một} Khuyến mãi \frac{\frac{\frac{π_{1} ⋮}{! Γ ⊢ Một}}{! Γ ⊢! Một} Khuyến mãi \frac{π_{2} ⋮}{Υ_{1},! Một,! Một, Υ_{2} ⊢ B}}{Υ_{1},! Một,! Γ, Υ_{2} ⊢ B} Cắt}{\frac{Υ_{1},! Γ,! Γ, Υ_{2} ⊢ B}{Υ_{1},! Γ, Υ_{2} ⊢ B} Hàng loạt các hợp đồng và trao đổi} Cắt$ $\displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\pi_1\\\vdots}{!\Gamma \vdash A}}{!\Gamma \vdash !A} \text{ Promotion} \qquad \displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\pi_1\\\vdots}{!\Gamma \vdash A}}{!\Gamma \vdash !A} \text{ Promotion} \qquad \displaystyle\frac{\pi_2\\\vdots}{\Upsilon_1 , !A , !A , \Upsilon_2 \vdash B} }{ \Upsilon_1 , !A , !\Gamma , \Upsilon_2 \vdash B } \text{ Cut} }{ \displaystyle\frac{\Upsilon_1 , !\Gamma , !\Gamma , \Upsilon_2 \vdash B}{\Upsilon_1 , !\Gamma , \Upsilon_2 \vdash B} \rlap{\;\text{ Series of Contractions and Exchanges}} } \text{ Cut}$

Tại sao đây là một bước quy nạp hợp lệ? Không phải kích thước của công thức cắt cũng như kích thước của các đạo hàm đều giảm. (Trong bằng chứng được chuyển đổi, nhánh bên phải của vết cắt dưới có khả năng lớn hơn sau khi tự ý loại bỏ vết cắt trên.) Vì vậy, không rõ tại sao thủ tục này nên chấm dứt.

linear-logic

— Sebastien Zany
nguồn

Chỉ cần có một cái nhìn nhanh chóng và đây là một thời gian dài kể từ khi tôi không đọc chủ nghĩa hình thức như vậy nhưng tôi có ấn tượng rằng mục tiêu ở đây là loại bỏ vết cắt sau khi khuyến mãi vs Contraction. Trong trường hợp này, phép biến đổi hoạt động khi mọi sự co lại hiện đang bị cắt nên các vết cắt đi lên trong cây phái sinh và được loại bỏ theo quy nạp.

— holf

Vấn đề là trong bằng chứng được chuyển đổi, nhánh bên phải của vết cắt dưới có khả năng lớn hơn sau khi loại bỏ một cách tự nhiên vết cắt trên. (Sẽ thêm phần này vào làm rõ.)

— Sebastien Zany

Có, nhưng số lượng các cơn co thắt đã giảm đi một. Theo như tôi có thể nói (một lần nữa, tôi không đi sâu vào chi tiết), không có biến đổi nào khác làm tăng số lượng các cơn co thắt. Vì vậy, nếu bạn nhìn vào giá trị (#contraction, anything_you_need_for_the_rest), thì giá trị này luôn giảm theo thứ tự từ điển, do đó, nó sẽ chấm dứt tại một số điểm.

— holf

Bên cạnh những gì holf và Neel nói, không phải là một biến thể của công việc tranh luận (mức độ, cấp bậc) thông thường? Ý tôi là, sự khác biệt giữa bước này và việc loại bỏ vết cắt trên LJ thông thường là gì? (Ý tôi là phép tính tuần tự trực giác của Gentzen)

— Damiano Mazza

Nhưng làm thế nào để bạn loại bỏ B cắt? Điều duy nhất có vẻ như bạn có thể làm trong trường hợp Cut-Cut là hoán đổi vị trí của hai lần cắt A và B. Nhưng sau đó, bạn lại rơi vào tình huống tương tự. Nếu bạn loại bỏ B (hiện tại ở trên), bạn có thể tăng số lần co thắt trên A.

— Jérôme Fortier

Tôi mở rộng những gì tôi đã viết như một bình luận. Vì có một số lượng lớn các trường hợp trong bằng chứng, tôi chỉ đưa ra một ý tưởng về lý do tại sao sự chuyển đổi này chấm dứt. Câu trả lời ngắn gọn là:

Trong trường hợp khuyến mãi so với co lại, sau khi chuyển đổi, số lượng các cơn co thắt trong phần chứng minh có chứa vết cắt đã giảm đi một.

Để đi sâu hơn một chút vào chi tiết, tôi sẽ nói rằng bạn đã nhầm vì bạn nghĩ rằng số lần cắt hoặc kích thước của bằng chứng sẽ giảm để đảm bảo chấm dứt. Tuy nhiên, việc chấm dứt có thể được chứng minh bằng cách xem xét các thông số khác của bằng chứng.

Nếu bạn muốn chứng minh chấm dứt, bạn chỉ phải chứng minh rằng mỗi quy tắc sẽ được áp dụng một số lượng thời gian hữu hạn. Bạn có thể chứng minh rằng quảng cáo quy tắc chuyển đổi so với co lại sẽ được áp dụng nhiều nhất là m lần, trong đó m là số lần co trong chứng minh ban đầu của bạn. Để chứng minh điều này, bạn chỉ cần quan sát rằng không có quy tắc nào đưa ra một sự co lại mới trong cây chứng minh. Và cái này làm giảm số lần co lại. Bạn có thể thực hiện thủ thuật này cho bất kỳ quy tắc nào khác "khuyến mãi so với sthg" để chứng minh rằng quy tắc này sẽ chỉ được áp dụng trong một số lượng thời gian hữu hạn.

— linh dương
nguồn