Đã làm thế nào mà các vấn đề thực sự khó khăn đang giữ vững? Ý tưởng hiện tại về chủ đề này là gì?

Tôi thấy bài báo này rất thú vị. Tóm lại: nó thảo luận về lý do tại sao trong thực tế, bạn hiếm khi tìm thấy một trường hợp xấu nhất của một vấn đề hoàn thành NP. Ý tưởng trong bài viết là các trường hợp thường là rất hoặc quá hạn chế, cả hai đều tương đối dễ giải quyết. Sau đó, nó đề xuất cho một vài vấn đề một biện pháp 'ràng buộc'. Những vấn đề đó dường như có một 'giai đoạn chuyển tiếp' từ 0 khả năng của một giải pháp đến khả năng 100%. Sau đó, nó đưa ra giả thuyết:

1. Rằng tất cả các vấn đề NP-đầy đủ (hoặc thậm chí tất cả các vấn đề NP) đều có thước đo về 'sự hạn chế'.
2. Đối với mỗi bài toán hoàn thành NP, bạn có thể tạo một biểu đồ về xác suất của một giải pháp tồn tại dưới dạng một hàm của 'ràng buộc'. Hơn nữa, biểu đồ đó sẽ chứa một giai đoạn chuyển tiếp trong đó xác suất đó tăng nhanh và đáng kể.
3. Các ví dụ tồi tệ nhất của các vấn đề hoàn thành NP nằm trong giai đoạn chuyển tiếp đó.
4. Thực tế cho dù một vấn đề nằm ở giai đoạn chuyển tiếp đó vẫn bất biến khi chuyển đổi một vấn đề hoàn thành NP sang vấn đề khác.

Bài viết này được xuất bản vào năm 1991. Câu hỏi của tôi là có nghiên cứu tiếp theo nào về những ý tưởng này trong 25 năm qua không? Và nếu vậy, suy nghĩ chủ đạo hiện tại về họ là gì? Họ đã tìm thấy chính xác, không chính xác, không liên quan?

Dưới đây là một bản tóm tắt sơ bộ về tình trạng dựa trên bài thuyết trình do Vardi đưa ra tại Hội thảo về Lý thuyết mô hình hữu hạn và thuật toán (2012):

Nó đã được quan sát thấy rằng các trường hợp cứng nằm ở giai đoạn chuyển từ khu vực dưới sang quá hạn chế. Giả thuyết cơ bản là có mối liên hệ chặt chẽ giữa các pha chuyển tiếp và độ phức tạp tính toán của các vấn đề NP.

Achlioptas Nhận Coja-Oghlan, nhận thấy rằng có một mật độ trong khu vực thỏa mãn nơi không gian giải pháp bị phá vỡ thành nhiều cụm nhỏ theo cấp số nhân. Vinay Deolalikar dựa trên nỗ lực nổi tiếng của mình để chứng minh dựa trên giả định rằng sự vỡ tan hàm ý độ cứng tính toán. Bằng chứng của Deolalikar đã bị bác bỏ bởi thực tế là XOR-SAT ở trong và nó bị phá vỡ. Do đó, sự vỡ không thể được sử dụng để chứng minh độ cứng tính toán.$P \ne NP$$P$

Suy nghĩ chủ đạo hiện tại dường như (như đã nêu của Vardi) rằng các pha chuyển tiếp không thực sự liên quan đến độ phức tạp tính toán.

Cuối cùng, đây là một bài báo được xuất bản trên tạp chí Nature , nghiên cứu về mối liên hệ giữa chuyển pha và độ cứng tính toán của K-SAT.

Vâng, đã có rất nhiều công việc kể từ bài báo năm 1991 của Cheeseman, Kanefsky và Taylor.

Thực hiện tìm kiếm các đánh giá về sự chuyển pha của các vấn đề NP-Complete sẽ cho bạn rất nhiều kết quả. Một đánh giá như vậy là Hartmann và Weigt [1]. Để có phần giới thiệu ở cấp độ cao hơn, hãy xem bài viết của Nhà khoa học người Mỹ Brian Hayes [2] [3].

Bài báo năm 1991 của Cheesemen, Kanefsky và Taylor là một trường hợp đáng tiếc của các nhà khoa học máy tính không chú ý đến tài liệu toán học. Trong bài báo của Cheeseman, Kanefsky và Taylor, họ đã xác định Chu kỳ Hamilton là có sự chuyển pha với một phần thu trong chi phí tìm kiếm gần ngưỡng quan trọng. Mô hình đồ thị ngẫu nhiên họ sử dụng là đồ thị ngẫu nhiên Erdos-Renyi (xác suất cạnh cố định hoặc phân phối độ Gaussian tương đương). Trường hợp này đã được nghiên cứu kỹ trước bài báo năm 1991 của Cheeseman et all với các thuật toán thời gian đa thức gần như chắc chắn cho lớp biểu đồ này, ngay cả ở hoặc gần ngưỡng tới hạn. "Đồ thị ngẫu nhiên" của Bollobas [4] là một tài liệu tham khảo tốt. Bằng chứng ban đầu tôi tin đã được Angliun và Valiant [5] đưa ra với những cải tiến hơn nữa của Bollobas, Fenner và Frieze [6]. Sau Cheeseman,

Quá trình chuyển pha cho các chu kỳ Hamilton trong các đồ thị ngẫu nhiên Erdos-Renyi tồn tại theo nghĩa là có sự chuyển đổi nhanh chóng xác suất tìm ra giải pháp nhưng điều này không làm tăng sự phức tạp "nội tại" của việc tìm kiếm Chu kỳ Hamilton. Hầu như có các thuật toán thời gian đa thức gần như chắc chắn để tìm chu kỳ Hamilton trong các đồ thị ngẫu nhiên Erdos-Renyi, ngay cả ở giai đoạn chuyển tiếp quan trọng, cả về lý thuyết và thực tế.

Tuyên truyền khảo sát [8] đã thành công tốt đẹp trong việc tìm kiếm các trường hợp thỏa đáng cho 3-SAT ngẫu nhiên rất gần ngưỡng quan trọng. Kiến thức hiện tại của tôi hơi yếu, vì vậy tôi không chắc có tiến triển lớn nào trong việc tìm kiếm thuật toán "hiệu quả" cho các trường hợp không thỏa mãn gần ngưỡng quan trọng hay không. 3-SAT, theo như tôi biết, là một trong những trường hợp "dễ dàng" giải quyết nếu nó thỏa đáng và gần ngưỡng tới hạn nhưng chưa biết (hoặc khó?) Trong trường hợp không thỏa mãn gần ngưỡng tới hạn.

Kiến thức của tôi có một chút ngày nay nhưng lần cuối cùng tôi nhìn sâu vào chủ đề này, có một vài điều nổi bật với tôi:

• Chu kỳ Hamilton là "dễ dàng" cho đồ thị ngẫu nhiên Erdos-Renyi. Đâu là những vấn đề khó khăn cho nó?
• Phân vùng số phải có thể giải quyết được khi ở rất xa trong vùng 0 hoặc 1 xác suất gần như chắc chắn nhưng không có thuật toán hiệu quả (theo hiểu biết của tôi) tồn tại đối với các kích thước cá thể vừa phải (1000 số mỗi bit, theo như tôi biết, hoàn toàn có thể hiểu được trạng thái của các thuật toán nghệ thuật). [9] [10]
• 3-SAT "dễ dàng" đối với các trường hợp thỏa đáng ở gần ngưỡng tới hạn, ngay cả đối với các kích thước cá thể lớn (hàng triệu biến) nhưng khó đối với các trường hợp không thỏa mãn gần ngưỡng tới hạn.

Tôi ngần ngại đưa nó vào đây vì tôi chưa xuất bản bất kỳ bài báo đánh giá ngang hàng nào từ nó nhưng tôi đã viết luận án của mìnhVề chủ đề này. Ý tưởng chính là một nhóm các nhóm ngẫu nhiên có thể có (Chu kỳ Hamilton, Vấn đề phân vùng số, v.v.) "thực chất khó" là những nhóm có thuộc tính "bất biến quy mô". Các bản phân phối ổn định Levy là một trong những bản phân phối tự nhiên hơn với chất lượng này, có đuôi luật pháp và người ta có thể chọn các trường hợp ngẫu nhiên từ NP-Complete, bằng cách nào đó kết hợp phân phối ổn định Levy. Tôi đã đưa ra một số bằng chứng yếu cho thấy có thể tìm thấy các trường hợp Chu kỳ Hamilton khó khăn về bản chất nếu các đồ thị ngẫu nhiên được chọn với phân phối độ ổn định Levy thay vì phân phối Bình thường (ví dụ Erdos-Renyi). Nếu không có gì khác, nó ít nhất sẽ cung cấp cho bạn một điểm khởi đầu cho một số đánh giá tài liệu.

[1] AK Hartmann và M. Weigt. Chuyển pha trong các vấn đề tối ưu hóa kết hợp: Cơ bản, thuật toán và cơ học thống kê. Wiley-VCH, 2005.

[2] B. Hayes. Vấn đề khó nhất. Nhà khoa học Mỹ, 90 (2), 2002.

[3] B. Hayes. Trên ngưỡng. Nhà khoa học Mỹ, 91 (1), 2003.

[4] B. Bollobás. Đồ thị ngẫu nhiên, Ấn bản thứ hai. Nhà xuất bản Đại học Cambridge, New York, 2001.

[5] D. Angluin và LG Valiant. Các thuật toán xác suất nhanh cho các mạch và khớp Hamilton. J. Máy tính, Syst. Sci., 18: 155 Từ193, 1979.

[6] B. Bollobás, TI Fenner và AM Frieze. Một thuật toán để tìm các đường dẫn và chu trình Hamilton trong các biểu đồ ngẫu nhiên. Combinatorica, 7: 327 bóng341, 1987.

[7] B. Vandegriend và J. Culberson. Quá trình chuyển pha G n, m không khó đối với bài toán chu trình Hamilton. J. của AI Research, 9: 219 Mạnh245, 1998.

[8] A. Braunstein, M. Mézard và R. Zecchina. Khảo sát tuyên truyền: một thuật toán cho sự thỏa đáng. Cấu trúc và thuật toán ngẫu nhiên, 27: 20112222, 2005.

[9] I. Gent và T. Walsh. Phân tích heuristic cho phân vùng số. Trí thông minh tính toán, 14: 430 Hàng451, 1998.

[10] CP Schnorr và M. Euchner. Giảm cơ sở mạng: Cải thiện các thuật toán thực tế và giải các bài toán tổng con. Trong Kỷ yếu cơ bản của lý thuyết tính toán '91, L. Budach, chủ biên, Ghi chú bài giảng trong Khoa học máy tính, tập 529, trang 68 Phản85, 1991.

25 năm nghiên cứu, và những ý tưởng hiện tại ở đâu:

+++ ý tưởng 1:

Theo kinh nghiệm của tôi trong việc giải quyết thỏa đáng, tôi đã tìm thấy trong thực tế rằng việc thêm mệnh đề k hợp lệ vào một công thức mà chúng tôi đang cố gắng giải quyết tương tự như quyết định một biến (nk) qbf.

Đó dường như là một cách tiếp cận để hiển thị các phương pháp giải quyết sat hiện tại cho NP rất khó!

+++ ý tưởng 2:

Một ý tưởng khác là vấn đề AllQBF là một vấn đề thực sự trong hệ thống phân cấp boolean. Vấn đề AllQBF là: Tạo biểu thức boolean Q quyết định tất cả 2 ^ n qbfs của công thức R. AllQBFs dễ dàng khi công thức gốc R là đơn điệu hoặc 2-cnf.

AllQBF dường như là một con đường hợp lý để hiển thị QBF là Exp, vì Q thường theo cấp số nhân, do đó việc đánh giá một phép gán Q (định lượng của công thức gốc R) là theo cấp số nhân. Vì vậy, con đường để chứng minh NP là Exp ít nhất có một vài viên gạch trong đó.

+++ ý tưởng 3: K-cnfs thông thường

Btw, tất cả các nghiên cứu chuyển pha đã bỏ lỡ k-cnfs thông thường, trong đó số lần xuất hiện của một biến (theo một trong hai hướng) là cố định, tương tự như biểu đồ mức độ thông thường ... Các k-cnfs thông thường khó hơn nhiều so với mô hình chuẩn, bởi vì tất cả các biến trông giống hệt nhau về các ràng buộc trên chúng.

Hai mươi lăm năm trước, ngay sau khi đọc cheeseman, tôi tập trung vào việc tô màu đồ thị thông thường, bởi vì tất cả các biến đều giống nhau. Vì vậy, tôi sẽ lạm dụng đặc quyền câu trả lời của mình ở đây và trình bày hai mươi năm kết quả trên các biểu đồ thông thường!

+++ ý tưởng 4: Điểm vàng cho nghiên cứu điểm chuẩn thỏa đáng

Tôi đã nghiên cứu màu C của đồ thị đỉnh N thường xuyên khá rộng rãi. Bảng sau đây tóm tắt các kết quả Điểm Vàng cho màu đồ thị thông thường.

Đối với Xác suất cao, N trường hợp ngẫu nhiên là thỏa đáng. Đối với Rất cao, N ^ 2 là thỏa đáng. Đối với Super High, N ^ 3 trường hợp ngẫu nhiên là thỏa đáng.

Điểm màu vàng có xác suất cao (1 - 1 / N) là:

C3D5N180 C4D6N18 C4D7N35 C4D8N60 C4D9N180? C5D10N25 C5D11N42 C5D12N72

Điểm màu vàng có xác suất rất cao (1 - 1 / (N ^ 2) là:

C3D5N230? C4D6N18 C4D7N36 C4D8N68 C4D9N ??? C5D10N32 C5D11N50 C5D12N78

Điểm màu vàng có xác suất siêu cao (1 - 1 / (N ^ 3) là:

C3D5N ??? C4D6N22 C4D7N58 C4D8N72? C4D9N ??? C5D10N38 C5D11N58 C5D12N ??

Mục nhập C4D9 biểu thị bốn màu của đồ thị mức thứ chín. Đây là 4cnfs ngẫu nhiên khó nhất mà tôi đã gặp trong 25 năm ngồi giải quyết. Gần đây tôi đã tô màu một đồ thị bậc chín thứ chín sau mười ngày thời gian cpu.

+++ Ý tưởng 5: C5D16N ???? Golden Point được phỏng đoán nhẹ để tồn tại.

Cảm ơn, Daniel Pehoushek