Ví dụ về chứng kiến ​​độ dài logarit dễ xác minh hơn tìm

Một quan sát dễ dàng là nếu một vấn đề có thể được quyết định bởi một chương trình không xác định thời gian đa thức sử dụng các bit không đặc trưng (nghĩa là tất cả các nhân chứng đều có độ dài logarit), thì .$A$$O(\log n)$$A \in \mathsf{P}$

Nếu một người sau đó đặt câu hỏi, "Có dễ xác minh nhân chứng hơn là tìm một nhân chứng không?" đối với các vấn đề như vậy và người ta xem xét tất cả các thời gian chạy đa thức tương đương, thì câu trả lời là không, vì người ta có thể tìm thấy các nhân chứng như vậy trong thời gian đa thức bằng cách tìm kiếm thông qua tất cả các nhân chứng tiềm năng.

Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta xem xét sự khác biệt nhỏ giữa thời gian chạy đa thức? Tôi tự hỏi liệu có một ví dụ cụ thể về một vấn đề tự nhiên trong có các nhân chứng có độ dài logarit dễ xác minh hơn là tìm thấy, trong đó "dễ dàng hơn" có nghĩa là thời gian chạy đa thức nhỏ hơn.$\mathsf{P}$

Ví dụ, các thuật toán đã biết để khớp hoàn hảo trong biểu đồ mất thời gian đa thức, nhưng nhiều hơn thời gian trên biểu đồ có nút. Nhưng được cung cấp một tập hợp cặp nút (một nhân chứng), thật dễ dàng để xác minh trong thời gian rằng nó là khớp. Tuy nhiên, bản thân khớp yêu cầu tại các bit để mã hóa.$O(n)$$n$$n/2$$O(n)$$\Omega(n)$

Có một số vấn đề tự nhiên đạt được sự tăng tốc tương tự (rõ ràng) trong xác minh so với tìm kiếm, trong đó nhân chứng có chiều dài logarit ?

Xem xét vấn đề quyết định quyết định xem một đầu vào nhị phân có độ dài có phải là một bảng màu không.$x$$n$

Có một bằng chứng phức tạp về giao tiếp khá chuẩn là một băng TM đơn lẻ cần ít nhất thời gian để giải quyết vấn đề này.$O(n^2)$

Mặt khác, chúng ta cũng có thể giải quyết vấn đề này bằng thuật toán không xác định với nhân chứng : thuật toán chấp nhận bất cứ khi nào bit thứ từ đầu khác với bit thứ từ cuối . Xác định bit thứ từ đầu hoặc cuối của chuỗi bit có thể được hoàn thành trong thời gian trên một băng TM đơn.$\log(n)$$i$$i$$x$$i$$x$$i$$n$$O(n \log n)$