Vấn đề phổ đồ thị ngược?

Thông thường, người ta xây dựng một biểu đồ và sau đó đặt câu hỏi về ma trận kề (hoặc một số họ hàng gần giống như phép phân tách eigenvalue của Laplacian ) (còn được gọi là phổ của đồ thị ).

Nhưng những gì về vấn đề đảo ngược? Với giá trị riêng, người ta có thể (một cách hiệu quả) tìm thấy một đồ thị có phổ này không? $n$

Tôi nghi ngờ rằng nói chung điều này khó thực hiện (và có thể tương đương với GI) nhưng nếu bạn thư giãn một số điều kiện thì sao? Điều gì xảy ra nếu bạn tạo điều kiện không có bội số của giá trị riêng? Điều gì về việc cho phép các biểu đồ có phổ "gần" theo một số liệu khoảng cách?

Bất kỳ tài liệu tham khảo hoặc ý tưởng sẽ được chào đón.

CHỈNH SỬA :

Như Suresh chỉ ra, nếu bạn cho phép các đồ thị có trọng số vô hướng với các vòng lặp tự, vấn đề này trở nên khá nhỏ. Tôi đã hy vọng nhận được câu trả lời trên tập các đồ thị đơn giản không có trọng số, nhưng tôi cũng sẽ hài lòng với các đồ thị có hướng đơn giản không có trọng số.

— người dùng834
nguồn

Tôi nghĩ rằng bạn có thể cần phải sửa đổi câu hỏi thành 'đồ thị vô hướng không có trọng số không có vòng lặp' hoặc một cái gì đó tương tự? Tôi có thể tưởng tượng việc xây dựng một ma trận đường chéo với các giá trị riêng cần thiết và tuyên bố nó là một biểu đồ bị ngắt kết nối với các ảnh tự động có trọng số?

— Suresh Venkat

Câu hỏi thậm chí đơn giản hơn (tôi không biết câu trả lời) là làm thế nào để xây dựng các biểu đồ được kết nối đơn giản với một vài giá trị bản địa hàng đầu được đưa ra

— Yaroslav Bulatov

Một cách khác để nêu câu hỏi (phiên bản có đồ thị vô hướng đơn giản) là: cho n số thực (ở một số định dạng), quyết định xem có tồn tại ma trận 0/1 đối xứng n × n với các đường chéo bằng không sao cho các giá trị riêng của nó là số đã cho.

— Tsuyoshi Ito

@ Nam Tư: Tôi không chắc, nhưng vấn đề đó đối với tôi khó hơn so với trường hợp tất cả các giá trị bản địa được đưa ra.

— Tsuyoshi Ito

Quan sát nhỏ: Nếu chúng ta không có hạn chế nào đối với các giá trị riêng, thì vấn đề thực sự khó khăn (thậm chí không bao gồm phần thuật toán) vì điều này sẽ ám chỉ sự tồn tại (không) của đồ thị Moore thông thường , mà tất cả các giá trị riêng đều được biết đến.

— Hsien-Chih Chang 張顯

Câu trả lời:

Cvetcovic và tất cả trong Phần 3.3 của "Những kết quả gần đây trong lý thuyết phổ đồ thị" đã vượt qua các thuật toán để xây dựng đồ thị cho phổ trong một số trường hợp đặc biệt

— Ba Tư
nguồn

Ngay cả việc hỏi liệu một đồ thị với phổ đã cho có tồn tại hay không là một câu hỏi khó. Điều này được chứng kiến bởi vấn đề mở trong việc xác định xem có tồn tại đồ thị đường kính 5 đường kính 2 và thứ tự 3250 có phổ (nếu nó tồn tại) hay không.

— Jernej
nguồn

Một trở ngại khác trong việc xác định câu hỏi của bạn là các biểu đồ isospectral (cùng giá trị riêng) nhưng đồ thị không đẳng hình. Vì vậy, đưa ra một danh sách các giá trị riêng trong trường hợp như vậy, bạn muốn biểu đồ nào? Có lẽ bạn chỉ muốn một thuật toán trả về một phần tử ngẫu nhiên của tập hợp các đồ thị không đẳng hình như vậy?

— dabacon
nguồn

Tôi đã suy nghĩ điều gì đó dọc theo các dòng lấy mẫu từ không gian của các biểu đồ là không gian trực quan nhưng điều này có vẻ như chúng ta đang nhanh chóng rơi vào một vấn đề tương đương GI (như nhận xét của tôi ở trên). Để đơn giản, chúng tôi có thể giới hạn tất cả các giá trị riêng biệt (nếu IIC đảm bảo một biểu đồ duy nhất) nhưng tôi thực sự chỉ đang cố gắng xem những gì đã biết hoặc ngoài đó.

— dùng834

Tôi không nghĩ các giá trị riêng biệt đảm bảo khả năng tái cấu trúc, đây là một số phổ của đồ thị không gian trên 7 nút yaroslavvb.com/upload/save/cstheory-isospectral.png

— Yaroslav Bulatov

Tôi thích công thức yếu tố ngẫu nhiên. Tôi sẽ quan tâm để biết nếu nó tương đương với GI. Một lý do tôi quan tâm đến công thức thành phần ngẫu nhiên, là câu hỏi, được nêu trong bài báo của tôi với Arora và Steurer trên các trò chơi độc đáo, về việc liệu các đồ thị có phổ nhất định có thể là bộ mở rộng cho các bộ nhỏ hay không. Theo trực giác, người ta có thể hy vọng rằng một biểu đồ ngẫu nhiên có phổ này sẽ là phần mở rộng tốt nhất có thể cho tất cả các kích thước đã đặt và do đó, cái nhìn sâu sắc về phổ ngược có thể hữu ích ở đó.

— Boaz Barak

@ Nam Tư: Cảm ơn bạn đã liên kết và cảm ơn vì đã sửa lỗi cho tôi!

— dùng834

@ user834: Re: nhận xét của bạn về một vấn đề tương đương GI. Lưu ý rằng việc xác định đẳng cấu của đồ thị với bội số eigenvalue giới hạn (đặc biệt là các đồ thị không có nhiều giá trị riêng) có thể được thực hiện trong thời gian đa thức.

— Joshua Grochow