Là sự phức tạp Kolmogorov của các bảng chân lý của vấn đề tạm dừng được biết là không có triệu chứng?

Đặt biểu thị chuỗi có độ dài tương ứng với bảng chân lý của bài toán tạm dừng cho các đầu vào có độ dài .$HALT_n$$2^n$$n$

Nếu chuỗi độ phức tạp Kolmogorov là , thì một trong những chuỗi lời khuyên sẽ được sử dụng vô cùng thường xuyên và một TM với chuỗi mã hóa cứng đó có thể giải quyết một cách thường xuyên, mà chúng ta biết không phải là trường hợp$K(HALT_n)$$O(1)$$HALT$

Một cuộc kiểm tra chặt chẽ hơn về đối số đường chéo thực sự cho thấy ít nhất là , do đó, cùng với giới hạn trên tầm thường, chúng ta có:$K(HALT_n)$$n - \omega (1)$

$n - \omega(1) \leq K(HALT_n) \leq 2^n + O(1)$

Giới hạn dưới này được ghi chú trong phần giới thiệu của một bài báo gần đây của Fortnow và Santhanam `` Giới hạn dưới không đồng nhất mới cho các lớp phức tạp đồng nhất '' , và họ gán nó cho văn hóa dân gian. Về cơ bản, nếu chuỗi lời khuyên ngắn hơn độ dài đầu vào, thì chúng ta vẫn có thể chéo với các máy có nhiều lời khuyên nhất.

(Chỉnh sửa: Trên thực tế, trong một phiên bản trước đó của bài báo họ gán nó cho văn hóa dân gian, tôi đoán bây giờ họ chỉ nói đó là bản chuyển thể của Hartmanis và Stearns.)

Trên thực tế, trong bài báo mà họ đang quan tâm đến lý Time-hệ thống cấp bậc, và họ tuyên bố điều tương đối so với một nguồn lực ràng buộc của bước thời gian, chứ không phải là sự phức tạp Kolmogorov không hạn chế. Nhưng, bằng chứng về kết quả của `` văn hóa dân gian '' là giống nhau trong trường hợp không bị hạn chế.$t$

Một trong những lý do họ quan tâm đến lời khuyên về giới hạn thấp hơn, là nó được kết nối với các giới hạn thấp hơn và sự phân biệt chủng tộc trong mô hình `` độ cứng so với tính ngẫu nhiên ''. Chẳng hạn, nếu vấn đề kinh điển có thể giải quyết được trong thời gian có các bảng chân lý cần có lời khuyên để được tính toán trong thời gian , thì các bảng chân lý đó không có mạch có kích thước , do đó, bởi một kết quả nổi tiếng của Impagliazzo và Wigderson.$2^n$$2^{\epsilon n}$$2^{\epsilon n}$$2^{\epsilon n}$$P = BPP$

Hỏi về thay vào đó không có bất kỳ ứng dụng nào như vậy, nhưng có thể giải quyết dễ dàng hơn. Nó cũng dễ dàng hơn để nói, không có bất kỳ sự phụ thuộc vào một tham số ràng buộc thời gian - đó là một vấn đề khá tự nhiên có thể đã được nghiên cứu.$K(HALT_n)$

Có giới hạn nào dưới hoặc trên tốt hơn trên được biết bên cạnh kết quả '`văn hóa dân gian' 'không? Là một trong hai giới hạn dưới hoặc trên trên chặt chẽ?$K(HALT_n)$

Lưu ý: Có một bài viết hay khác về độ phức tạp của vấn đề tạm dừng, có thể thấy là gần như tối đa bởi một lập luận được phác thảo bởi Emil Jerabek tại đây: /mathpro/115275/non-uniform-complexity -of-the-halting-vấn đề

Về cơ bản, nó sử dụng một mẹo để chúng ta có thể tính toán (với quyền truy cập ngẫu nhiên) bảng chân lý đầu tiên về mặt phức tạp của từ vựng (lớn) trong lớp . Và chúng ta có thể giảm tính toán này thành một truy vấn cho vấn đề tạm dừng và việc giảm này có độ phức tạp mạch thấp. Vì vậy, phải có độ phức tạp mạch lớn - nếu không thì chức năng này cũng có độ phức tạp thấp.$E^{NP^{NP}}$$HALT$

Mặc dù nó có vẻ liên quan, tôi không nghĩ rằng lập luận này mang lại bất cứ điều gì cho . (Có thể là độ phức tạp Kolmogorov giới hạn thời gian của là lớn, do ngụ ý của độ phức tạp mạch bị ràng buộc, nhưng khi hạn chế thời gian được nới lỏng thì độ phức tạp giảm đi đáng kể.) Tôi nghĩ rằng lập luận tương tự cho thấy, nếu chúng ta có một dẫn đến vấn đề tạm dừng, sau đó chúng tôi có thể hỗ trợ các truy vấn truy cập ngẫu nhiên vào chuỗi không thể nhấn mạnh đầu tiên về mặt từ vựng. Nhưng, chúng ta phải thực hiện một loạt các truy vấn thích ứng và điều này không thể được giảm trực tiếp thành theo như tôi biết. Ngoài ra, các chuỗi truy vấn phải lớn hơn theo cấp số nhân, do đó, chuỗi kết thúc chỉ hiển thị rằng có độ phức tạp ít nhất$K(HALT_n)$$HALT$$HALT$$HALT_{2^n}$$2^n$ afaict, và điều này không đánh bại đối số '`văn hóa dân gian' '.

Nền tảng của tôi về độ phức tạp Kolmogorov khá yếu, thật đáng tiếc, liệu đã được biết đến bởi một số đối số khác? Có lẽ có một mẹo sử dụng Symmetry of Information?$K(HALT_n)$

Hoặc, có giới hạn trên tốt hơn mà tôi đã bỏ lỡ?

Một điều có vẻ kỳ lạ là, chuyển trở lại cài đặt , chúng tôi chỉ mong nhận được lời khuyên thấp hơn khi chúng tôi giảm thời gian bên dưới thuật toán ngây thơ. Khi bạn có đủ thời gian để chạy thuật toán ngây thơ, thì rõ ràng nó có thể nén được. Trong trường hợp của , không có thời gian nào bị ràng buộc cả, vì vậy có lẽ chúng ta có lượng thời gian "giống nhau" như đối thủ, và không nên hy vọng nó sẽ không bị áp lực tối đa. Tuy nhiên, đường chéo cũng hoạt động trong cài đặt không bị giới hạn - dường như đối với bất kỳ máy nào, có một máy làm điều tương tự như máy đó và sau đó làm một việc khác, vì vậy luôn có người có nhiều thời gian hơn bạn. Vì vậy, có lẽ đối thủ luôn có nhiều thời gian hơn chúng ta ...$DTIME$$K(HALT_n)$

Hmm, hóa ra thực sự có một giới hạn trên phù hợp không quá khó:

Để tạo bảng chân lý trong một khoảng thời gian hữu hạn, thông tin duy nhất cần thiết là số lượng máy có độ dài mô tả nhiều nhất là dừng lại. Con số này không quá , vì vậy nó có thể được biểu diễn với khoảng bit. Sau đó, chúng ta có thể khởi động tất cả các máy như vậy song song và chạy chúng cho đến khi rất nhiều trong số chúng dừng lại, và phần còn lại được biết là không dừng lại.$HALT_n$$n$$2^{n}$$n$

Vì vậy, tôi đoán rằng tranh luận văn hóa dân gian là chặt chẽ ở đây. Chúng ta có

$n - \omega(1) \leq K(HALT_n) \leq n + O(1)$

và chỉ được xác định rõ cho đến bất kỳ phụ gia , tùy thuộc vào sự lựa chọn của chúng tôi về máy Turing phổ dụng.$K(HALT_n)$$O(1)$

NB: Như một phần thưởng dễ thương, bằng chứng này cho thấy rằng chuỗi bit tương ứng với số của máy có độ dài mô tả nhiều nhất là mà dừng lại là một chuỗi không nén được - nếu nó là nén, sau đó phía trên ràng buộc ở đây sẽ chặt chẽ hơn, mâu thuẫn với giới hạn dưới.$n$$n$