Phiên bản không đồng nhất cho toàn bộ phân cấp đa thức

Các phiên bản không đồng nhất của P, NP và coNP là P / poly, NP / poly và coNP / poly. Tương tự, chúng ta có thể định nghĩa một phiên bản không đồng nhất cho từng cấp độ trong PH.

Ví dụ: / poly bao gồm các vấn đề có dạng , trong đó C là một mạch có kích thước đa thức có thể thay đổi tùy thuộc vào độ dài của chuỗi đầu vào và cũng có độ dài đa thức tính theo . $\Sigma_2$ $\{x : \exists y \forall z \; C(x,y,z)\}$ $x$ $y,z$ $x$

Làm điều này cho tất cả các cấp độ PH, chúng tôi nhận được một phiên bản PH / poly không đồng nhất.

CÂU HỎI: Có bất cứ điều gì được biết về hệ thống phân cấp này? Liệu nó sụp đổ? Hoặc có một tên khác cho nó trong văn học?

cc.complexity-theory complexity-classes polynomial-hierarchy

— Daniel Nguyễn
nguồn

Vâng, chắc chắn, chúng tôi biết mọi thứ. Tôi nghĩ rằng đây là một danh pháp tiêu chuẩn khá cho nó. Hệ thống phân cấp này sụp đổ khi và chỉ khi , thực hiện: $\mathsf{PH}$

Đối với một hướng, hãy sửa đổi bằng chứng của Karp-Lipton để cho thấy rằng nếu thì sụp đổ và quan sát rằng kết quả này tương đối $\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{coNP}/poly$ $\mathsf{PH}$
Đối với hướng khác, xem các ý kiến của Kaveh dưới đây.

— Joshua Grochow
nguồn

Có thể sụp đổ nhưng không sụp đổ?

P H

$\mathsf{PH}$

n u P H

$\mathsf{nuPH}$

— Daniel Apon

@Daniel, tôi nghĩ bạn có thể thoát khỏi tính đồng nhất của bộ định lượng trong mạch, vì vậy, nếu PH làm sụp đổ chúng thì nuPH cũng vậy.

— Kaveh

@Kaveh: Thế nào? Tôi có thể bị chậm, nhưng tôi chưa thấy điều đó ...

— Joshua Grochow

Giả sử P = NP. Xét L trong PH / poly. Giả sử L / poly, nghĩa là cho một số chức năng tư vấn f poly và L' nằm trong . Nhưng L 'nằm trong P, do đó L nằm trong P / poly.

\in

$\in$

Σ_{k}^{P}

$\Sigma^P_k$

χ_{L} (x) = χ_{L^{'}} (x, f (| x |))

$\chi_L(x) = \chi_{L'}(x,f(|x|))$

\in

$\in$

Σ_{k}^{P}

$\Sigma^P_k$

— Kaveh

Có lẽ tốt hơn để gắn bó với : D

P H / p o l y

$\mathsf{PH/poly}$

— Daniel Apon