Là quyết định xem việc thay đổi một mục có làm giảm tính vĩnh viễn của ma trận trong hệ thống phân cấp đa thức không?

Hãy xem xét các vấn đề sau: đưa ra một ma trận , các chỉ số và một số nguyên . Thay bởi và gọi mới ma trận . Là $M\in\{-m,\dots,0,\dots,m\}^{n\times n}$ $i,j\in\{1,\dots,n\}$ $a$ $M[i,j]$ $a$ $\hat M$ ? $per(M)>per(\hat M)$

Là vấn đề này trong hệ thống phân cấp đa thức?

permanent

— T ....
nguồn

Nó có thể được giải quyết bằng hai cuộc gọi đến một nhà tiên tri #P ... Nếu nó ở PH, thì điều đó có nghĩa là PP cũng ở PH ... Tuy nhiên, nếu PP ở PH, thì PH sụp đổ. Vì vậy, tôi nghĩ rằng nó không có khả năng là trong PH.

— Tayfun Trả tiền

@TayfunPay Tôi không nghĩ lập luận đó là đúng. Vấn đề có thể được giải quyết bằng 2 cuộc gọi đến #P, nhưng không thể loại trừ dễ dàng đến mức có một thuật toán đơn giản hơn có thể hiển thị trong PH. Bạn phải chứng minh rằng #P rất khó cho điều đó, ví dụ như bằng cách giảm Vĩnh viễn cho nó.

— Jan Johannsen

Nếu bạn đưa vào định nghĩa về vĩnh viễn và đơn giản hóa sự bất bình đẳng dẫn đến, vấn đề của bạn sẽ đặt ra câu hỏi liệu tính vĩnh viễn của ma trận (n-1) -by- (n-1) nhất định có thực sự tích cực hay không.

— Gamow

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

M

$M$

M^{'}

$M'$

M^{″}

$M''$

M^{'}

$M'$

- 1

$-1$

P E R (M^{″}) = - P E R (M^{'}) = - P E R (M)

$PER(M'') = -PER(M') = -PER(M)$

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

M^{'}

$M'$

(i, j) = (0, 0)

$(i,j) = (0,0)$

a = - 1

$a = -1$ trả về đúng

— holf

@holf: Tôi nghĩ bạn nên đăng bài này như một câu trả lời. Nó trả lời khá dứt khoát câu hỏi, và sau đó câu hỏi sẽ không xuất hiện dưới dạng "chưa được trả lời" nữa.

— Joshua Grochow

Vấn đề của bạn tương đương với thử nghiệm, được đưa ra , cho dù . $M$ $PER(M) > 0$

Bằng chứng : Giả sử bạn được cho và bạn muốn quyết định xem . Chúng tôi xây dựng như sau: Đó là dễ dàng thấy rằng . Bây giờ, xác định là trong đó chúng ta thay thế mục của bằng . Theo đa tuyến, theo sau . Do đó khi và chỉ khi $M$ $PER(M) > 0$ $M'$

[\begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 \\ \dots & M \\ 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & & & & \\ \dots & & M & &\\ 0 & & & & \end{bmatrix}$

P E R (M) = P E R (M^{'})

$PER(M) = PER(M')$

\hat{M^{'}}

$\hat{M'}$

M^{'}

$M'$

(0, 0)

$(0,0)$

M^{'}

$M'$

- 1

$-1$

P E R (M) = P E R (M^{'}) = - P E R (\hat{M^{'}})

$PER(M) = PER(M') = -PER(\hat{M'})$

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

P E R (M^{'}) > P E R (\hat{M^{'}})

$PER(M') > PER(\hat{M'})$

Bây giờ giả sử bạn được cho , và và định nghĩa như trong câu hỏi của bạn, nghĩa là bằng cách thay đổi thành . Chúng tôi có $M$ $(i,j)$ $a$ $\hat{M}$ $M[i,j]$ $a$

\begin{aligned} P E R (M) > & P E R (\hat{M}) iff \\ \sum_{σ} \prod_{k = 1}^{n} M [k, σ (k)] > & \sum_{σ} \prod_{k = 1}^{n} \hat{M} [k, σ (k)] iff \\ \sum_{σ, σ (i) = j} M [i, j] \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] > & \sum_{σ, σ (i) = j} a \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] iff \\ (M [i, j] - a) \cdot \sum_{σ, σ (i) = j} \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] > & 0 iff \\ (M [i, j] - a) \cdot P E R (M^{'}) > 0 \end{aligned}

$\begin{align} PER(M) > & PER(\hat{M}) \text{ iff} \\ \sum_{\sigma} \prod_{k=1}^n M[k,\sigma(k)] > &\sum_{\sigma} \prod_{k=1}^n \hat{M}[k,\sigma(k)] \text{ iff} \\ \sum_{\sigma, \sigma(i)=j} M[i,j] \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] > &\sum_{\sigma, \sigma(i)=j} a \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] \text{ iff}\\ (M[i,j]-a) \cdot \sum_{\sigma, \sigma(i)=j} \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] > & 0 \text{ iff}\\ (M[i,j]-a) \cdot PER(M') > 0 \end{align}$

Trong đó là ma trận thu được từ bằng cách xóa dòng và cột . $M'$ $(n-1) \times (n-1)$ $M$ $i$ $j$ $\square$

— linh dương
nguồn

Câu trả lời hay, nhưng có lẽ cũng đáng để nói rõ câu trả lời cho câu hỏi của OP.

— Stella Biderman