Số lượng DFA tối thiểu có kích thước tối đa

Hãy là một bảng chữ cái kích thước , và xem xét DFAs tối thiểu có kích thước được bao bọc bởi ít nhất . Đặt biểu thị số lượng DFA tối thiểu khác nhau như vậy. $\Sigma$ $2$ $m$ $f(m)$

Chúng ta có thể tìm một công thức dạng đóng cho không? $f(m)$

Xem xét rằng cho hàm chuyển đổi của DFA có kích thước tối đa là đồ thị. Vì mức độ nút được giới hạn bởi , cho mỗi nút có khả năng của các cặp cung (như được đề xuất trong các nhận xét). Trong biểu đồ này có tối đa các lựa chọn có thể có của trạng thái ban đầu và tối đa các lựa chọn có thể có của các trạng thái cuối cùng. Do đó, số lượng DFA tối đa có kích thước tối đa là $|\Sigma|=2$ $m$ $2$ $m^2$ $m$ $2^m$ $m$ . $f(m) \leq m^{2m}\cdot m\cdot2^m = 2^m\cdot m^{2m+1}$

Chúng ta có thể khái quát một bảng chữ cái tùy ý : các ràng buộc trở nên . $\Sigma$ $f(m) \le 2^m\cdot m^{|\Sigma|m+1}$

Nhưng chúng tôi giới hạn ở đây các DFA tùy ý và tôi quan tâm đến việc giới hạn số lượng DFA tối thiểu. Do đó, có vẻ như ràng buộc này có thể chặt chẽ hơn ... Có ai có ước tính tốt hơn không?

Tôi sẽ đánh giá cao nếu có thể, một số giấy tờ liên quan đến vấn đề này hoặc một bằng chứng / ví dụ phản biện.

— Luồng
nguồn

Tôi không nghĩ giới hạn trên của bạn là chính xác. Có vẻ như nó phải là

, chứ không phải là

. Đối với mỗi nút, hãy xem xét hai cung dẫn ra từ nút đó; có

khả năng nơi arc đầu tiên đi, và

khả năng cho nơi cung thứ hai đi, vì vậy

khả năng trong tổng số. Có

nút, vì vậy chúng tôi có được

f (m) \leq m \times 2^{m} \times m^{2 m}

$f(m) \le m \times 2^m \times m^{2m}$

f (m) \leq m \times 2^{m} \times 2^{2 m}

$f(m) \le m \times 2^m \times 2^{2m}$

m

$m$

m

$m$

m^{2}

$m^2$

m

$m$

khả năng cho tập hợp các cung. Tổng quát sẽ là

(m^{2})^{m} = m^{2 m}

$(m^2)^m = m^{2m}$

f (m) \leq m \times 2^{m} \times m^{| Σ | m}

$f(m) \le m \times 2^m \times m^{|\Sigma| m}$

— DW

Đây là một tài liệu tham khảo mà bạn có thể có liên quan: "về số lượng các DISTINCT NGÔN NGỮ chấp nhận bởi hữu hạn automata VỚI n KỲ" - citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.8.2838

— Michael Wehar

Cảm ơn cả hai bạn đã sửa chữa lỗi lầm của tôi và cho tôi tài liệu tham khảo này thực sự là một liên quan.

— Luz

Câu trả lời:

Theo Ishigami Y., Tani S. (1993) Kích thước VC của automata hữu hạn với n trạng thái, http://link.springer.com/ch CHƯƠNG / 10.1007 / 5-540-57370-4_58 , kích thước VC của lớp khái niệm của các DFA -state trên một bảng chữ cái có kích thước là Theo sau đó có ít nhất automata -state riêng biệt trên một $n$ $k$

d = d (n, k) := (k - 1 + o (1)) n \log_{2} n .

$d=d(n,k) := (k-1+o(1))n\log_2 n.$

2^{d}

$2^d$

n

$n$

k

$k$ bảng chữ cái. Giới hạn trên của số automata như vậy xuất phát từ một đối số đếm đơn giản (được nêu trong bài báo) và nhiều nhất là

2^{d}

$2^d$

— Aryeh
nguồn

Cảm ơn. Tôi hiểu từ câu trả lời của bạn rằng có

-states DFAs (ít nhất và nhiều nhất). Nhưng tôi quan tâm đến việc đếm các DFA tối thiểu. Do đó, giới hạn trên của bạn không mâu thuẫn với câu trả lời trong câu trả lời của tôi, phải không?

m^{(| Σ | - 1 + o (1)) m}

$m^{(|\Sigma| - 1 + o(1)) m}$

m

$m$

— Luz

Tôi nghĩ rằng điều này cũng tính các DFA tối thiểu, vì kích thước VC là độc lập với đại diện, nó thực sự đếm các ngôn ngữ riêng biệt - tương ứng với các DFA tối thiểu.

— Aryeh

(m - 1)!

$(m-1)!$

(m - 1)!

$(m-1)!$

m^{m}

$m^m$

Trong thực tế, nếu bạn nhìn vào bằng chứng của Thm. 3.2 trong bài báo tôi đã liên kết, bạn sẽ thấy biểu thức chính xác đó trong mẫu số.

— Aryeh

(NB: giới hạn trên được đưa ra trong câu trả lời được chấp nhận là tốt hơn hoặc bằng với giới hạn được đưa ra ở đây)

Một trên ràng buộc được đề xuất trong bài báo này được đưa ra trong một trong những nhận định trước đây: “ Trên số ngôn ngữ khác nhau chấp nhận bởi automata hữu hạn với các quốc gia n ” (2002, M. Domaratzki, D. Kisman, J. Shallit) .

Trên trang giấy này:

$f_{|\Sigma|}(m)$ $m$ ${|\Sigma|}$
$g_{|\Sigma|}(m)$ $m$ ${|\Sigma|}$

$g_{|\Sigma|}(m)$ $m$ $m$

$6$ $8$ $g_{|\Sigma|}(m) \leq \frac{2^m\cdot m^{|\Sigma|m}}{(m-1)!}$ $2^m\cdot m^{|\Sigma|m+1}$

$f_{|\Sigma|}(m)$

— Luồng
nguồn