Tôi có thể tìm thấy các ví dụ về mã sửa lỗi của các loại sau đây ở đâu?

Đầu tiên, xin lỗi nếu câu hỏi này là phù hợp hoặc tầm thường cho trang web này. Tôi là một nhà vật lý đang tìm kiếm sự giúp đỡ bên ngoài vùng thoải mái của anh ấy.

Trong PRL 87 167902 (2001) , người ta khẳng định rằng

"... Đối với một nhỏ tùy ý tồn tại mã sửa lỗi với (đối với một số hằng số ) sao cho khoảng cách Hamming giữa bất kỳ hai từ mã riêng biệt và nằm giữa và "E : { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } m m ≤ n / δ c c E ( x ) E ( y ) ( 1 - δ ) m / 2 ( 1 + δ ) m /$\delta>0$$E: \{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}^m$$m\leq n / \delta^c$$c$$E(x)$$E(y)$$(1 - \delta)m/2$$(1 + \delta)m/2$

Trong bài báo, điều này được biết đến vì bằng chứng không mang tính xây dựng. Tôi muốn biết liệu có bất kỳ ví dụ rõ ràng nào về các mã như vậy (hoặc các mã tương tự, hoặc thậm chí tốt hơn) tồn tại hay không, với điều kiện là 16 năm trước.

Cụ thể, tôi quan tâm đến mã trong đó và khoảng cách Hamming giữa hai từ mã riêng biệt có thấp hơn bị ràng buộc ít nhất là tuyến tính tính bằng (Tôi khá linh hoạt về hành vi với , vì tôi chỉ cần trường hợp ). m = O ( n ) m delta delta = 1 /$E: \{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}^m$$m = O(n)$$m$$\delta$$\delta = 1/2$

Tôi hỏi ở đây vì tôi chắc chắn đây sẽ là một câu hỏi rất dễ đối với người đúng, nhưng tôi không phải là người đó và tôi không chắc nơi nào tốt nhất để bắt đầu tìm kiếm. Bất kỳ gợi ý về nơi để tìm sẽ được nhiều đánh giá cao.

Nếu bạn chỉ cần bất kỳ mã trong đó và trong đó khoảng cách là tuyến tính tính bằng , thì bạn đang tìm kiếm gì được gọi là "mã tốt không có triệu chứng". Có nhiều cấu trúc rõ ràng của các mã như vậy, và bạn có thể tìm thấy các mã cơ bản trong ghi chú bài giảng của các khóa học về lý thuyết mã hóa. Ví dụ, bạn có thể tìm thấy một mô tả về một công trình cổ điển trong Bài giảng 7 tại đây . Một ví dụ khác về xây dựng là mã mở rộng, được mô tả trong Bài giảng 14 ở đó. m = O ( n ) $E : \{0,1\}^n \to \{0,1\}^m$$m=O(n)$$m$

Nếu bạn đang tìm kiếm cụ thể các mã trong đó khoảng cách giữa hai từ mã bất kỳ gần với và đặc biệt là giới hạn trên của , sau đó mọi thứ phức tạp hơn một chút. Các mã như vậy có liên quan chặt chẽ đến các đối tượng được gọi là " tập hợp thiên vị ", đã được nghiên cứu khá lâu trong TCS. Bạn có thể tìm thấy một bản dựng gần đây của các mã như vậy ở đây . Các công trình sớm nhất có thể được tìm thấy ở đây và đây (mặc dù chúng chỉ cung cấp cho bạn ). (1+δ)⋅$\frac{m}{2}$ ϵm=poly(n$(1+\delta)\cdot \frac{m}{2}$$\epsilon$$m = \rm{poly}(n)$