Bổ đề chuẩn hóa của Noether cho các trường hữu hạn

Câu hỏi của tôi là về các định lý 4.1 và 4.2 trong "Lý thuyết phức tạp hình học V" .

Định lý đầu tiên nói rằng tồn tại thuật toán EXPSPACE để xây dựng hsop cho (xem định nghĩa trong bài viết) trên (trên thực tế trên trường đóng đại số tùy ý có đặc tính không đại số ).$\Delta[\text{det},m]$$\mathbb{C}$

Thứ hai cung cấp một thuật toán Monte-Carlo đa thời gian xác suất cho cùng một vấn đề.

Kết quả luận án có thể được mở rộng để đóng đại số của một trường hữu hạn không?

Theo tôi hiểu, có thể là do vấn đề Nullstellensatz của Hilbert cũng thuộc về PSPACE trong trường hợp này. Định lý Heintz và Schnorr cũng áp dụng cho các trường có đặc tính tùy ý ...

Tôi tin rằng câu trả lời là có. Phần duy nhất tôi chưa kiểm tra cẩn thận là:

• Đối số ở giữa Định lý 4.2 sử dụng cấu trúc liên kết phức tạp và thực tế là bao đóng Zariski = đóng phức cho các tập hợp có thể xây dựng của Zariski trên . Phần tranh luận này nên được thay thế bằng kỹ thuật đại số tiêu chuẩn của việc sử dụng chuỗi Laurent, mặc dù như tôi đã nói, tôi đã không kiểm tra kỹ điều này.$\mathbb{C}$

Trong Định lý 4.1 và 4.2, dường như chỉ có một đặc tính địa điểm khác được sử dụng là phần của Định lý 4.1 (giả sử GRH). Điều này sử dụng kết quả của Koiran rằng, giả sử GRH, Nullstellensatz của Hilbert nằm trong . Kết quả của Koiran phụ thuộc khá nhiều vào số 0 đặc trưng (vì nó xem xét các giải pháp của hệ phương trình modulo nhiều số nguyên tố khác nhau ). Điều này là không cần thiết để có được phần của Định lý 4.1, tuy nhiên, chỉ có phần (giả sử GRH).P H P E X P S P A C E E X P $\mathsf{EXPH}$$\mathsf{PH}$$p$$\mathsf{EXPSPACE}$$\mathsf{EXPH}$