Tại sao Naturals thay vì số nguyên?

Tôi quan tâm đến việc tại sao các số tự nhiên lại được các tác giả sách về lý thuyết ngôn ngữ lập trình và lý thuyết loại ngôn ngữ yêu thích (ví dụ J. Mitchell, Cơ sở cho ngôn ngữ lập trình và B. Pierce, Các loại và Ngôn ngữ lập trình). Mô tả về phép tính lambda được gõ đơn giản và ngôn ngữ lập trình PCF cụ thể thường dựa trên Nat và Bool. Đối với những người sử dụng và giảng dạy PL công nghiệp đa năng, việc đối xử với các số nguyên thay vì tự nhiên là điều rất tự nhiên. Bạn có thể đề cập đến một số lý do tốt tại sao nhà lý thuyết PL thích nat? Bên cạnh đó nó là một chút ít phức tạp. Có bất kỳ lý do cơ bản hoặc nó chỉ là một vinh dự truyền thống?

CẬP NHẬT Đối với tất cả những nhận xét về nguyên tắc cơ bản của người Hồi giáo: Tôi khá nhận thức về tất cả những điều tuyệt vời đó, nhưng tôi thích xem một ví dụ khi thực sự quan trọng để có những tính chất đó trong lý thuyết loại PL. Ví dụ cảm ứng được đề cập rộng rãi. Khi chúng ta có bất kỳ loại logic nào (đơn giản là gõ LC), giống như logic thứ nhất cơ bản, chúng ta thực sự sử dụng cảm ứng - nhưng cảm ứng trên cây phái sinh (mà chúng ta cũng có trong lambda).

Câu hỏi của tôi về cơ bản đến từ những người từ ngành công nghiệp, những người muốn đạt được một số lý thuyết cơ bản về ngôn ngữ lập trình. Họ từng có số nguyên trong chương trình của mình và không có lập luận và ứng dụng cụ thể cho lý thuyết đang được nghiên cứu (lý thuyết loại trong trường hợp của chúng tôi) tại sao chỉ học ngôn ngữ chỉ với nat, họ cảm thấy khá thất vọng.

Câu trả lời ngắn gọn: Naturals là các giới hạn đầu tiên. Do đó, chúng đóng vai trò trung tâm trong lý thuyết tập hợp tiên đề (ví dụ, tiên đề của vô cực là sự khẳng định chúng tồn tại) và logic, và các nhà lý thuyết PL có xu hướng chia sẻ mối bận tâm nền tảng với các nhà logic học. Chúng tôi muốn có quyền truy cập vào nguyên tắc cảm ứng để chứng minh hoàn toàn chính xác, chấm dứt và các tính chất tương tự, và tự nhiên là một lựa chọn tự nhiên (er) của trật tự tốt.

Tuy nhiên, tôi không muốn ám chỉ rằng các số nguyên nhị phân có chiều rộng hữu hạn là bất kỳ đối tượng nào kém hấp dẫn hơn. Chúng là đại diện của p-adics, và cho phép chúng tôi sử dụng các phương pháp chuỗi lũy thừa trong lý thuyết số và tổ hợp. Điều này có nghĩa là tầm quan trọng của chúng trở nên rõ ràng hơn trong thuật toán so với PL, vì đây là khi chúng ta bắt đầu quan tâm nhiều hơn đến sự phức tạp hơn là chấm dứt.

Naturals là một khái niệm cơ bản hơn nhiều so với các số nguyên.

Cảm ứng xảy ra trên các naturals và các số nguyên có thể được bắt nguồn từ các naturals với sự bổ sung đơn giản của một toán tử nghịch đảo đơn phương.

Tôi thực sự muốn đặt câu hỏi ngược lại: tại sao các nhà thiết kế ngôn ngữ lập trình sớm (và máy đăng ký) lại coi các số nguyên là kiểu dữ liệu cơ bản khi chúng là thứ cấp và rất dễ xuất phát từ tự nhiên?

Tôi nghi ngờ đó chỉ là vì có một số mã hóa nhị phân thú vị có thể xử lý các số nguyên một cách thanh lịch. ;-)

Hãy suy nghĩ về tần suất bạn muốn bỏ qua phạm vi âm của số nguyên lập trình và xem xét xung có loại số nguyên không dấu để khôi phục bit bị mất.

$\mathbb{N}$$\mathbb{Z}$

$\mathbb{N}$$\leq$$\mathbb{Z}$

Tuy nhiên, một lý do khác (liên quan đến những điều đã được đưa ra, nhưng câu trả lời này có thêm thông tin mới) là có một cấu trúc tự nhiên rất đơn giản, không có thương hiệu, đi kèm với một nguyên tắc cảm ứng tốt đẹp [như đã nói] . Điều chưa được mở rộng là việc xây dựng các số nguyên không khó khăn như thế nào .

Tôi càng lập trình nhiều hơn khi tôi muốn sự đảm bảo cao, tôi càng cần những người tự nhiên và tôi thấy chỉ có các số nguyên được xác định trước cho tôi một nỗi đau thực sự.

Có bất kỳ lý do chính đáng tại sao các nhà lý thuyết PL thích tự nhiên thay vì số nguyên? Có một số, nhưng trong một cuốn sách giáo khoa về ngữ nghĩa ngôn ngữ lập trình, tôi nghĩ không có lý do kỹ thuật nào khiến họ cần phải như vậy. Tôi không thể nghĩ đến bất kỳ nơi nào khác ngoài các hệ thống loại phụ thuộc, trong đó cảm ứng trên dữ liệu là quan trọng trong lý thuyết PL. Những cuốn sách văn bản khác của Mike Gordon , David Schmidt , Bob Tennent và John Reynold không làm điều đó. (Và, những cuốn sách đó có lẽ sẽ phù hợp hơn rất nhiều cho việc dạy những người quan tâm đến PL công nghiệp đa năng!)

Vì vậy, ở đó, bạn có bằng chứng rằng nó không cần thiết. Trong thực tế, tôi sẽ tuyên bố rằng một cuốn sách văn bản lý thuyết PL tốt phải là tham số trong các loại nguyên thủy của ngôn ngữ lập trình, và nó gây hiểu lầm khi đề xuất khác.

Naturals và bools và các thao tác trên chúng có thể được mã hóa trong phép tính lambda thuần túy theo cách đơn giản, như cái gọi là số Church (và bool Church, tôi đoán vậy). Không rõ người ta sẽ mã hóa số nguyên một cách độc đáo như thế nào, mặc dù điều đó rõ ràng có thể được thực hiện.