Các lớp phức tạp ngẫu nhiên và mạch nhỏ

Đặt là lớp phức tạp và là đối tác ngẫu nhiên của được định nghĩa là $\mathcal{C}$ $\textrm{BP-}\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ đối với . Chính thức hơn, chúng tôi cung cấp nhiều bit ngẫu nhiên và chúng tôi chấp nhận đầu vào nếu xác suất chấp nhận là hơn $\textrm{BPP}$ $\textrm{P}$ . $\frac{2}{3}$

Được biết, đối với lớp mạch không đồng nhất, chúng ta có : $\textrm{BPAC}^0=\textrm{AC}^0$

Miklós Ajtai, Michael Ben-Or: Một định lý về tính toán độ sâu liên tục xác suất STOC 1984: 471-474

Là khái quát của định lý này được biết đến? Chẳng hạn, chúng ta có biết nếu (vẫn trong cài đặt không đồng nhất) không? Câu hỏi cuối cùng này có vẻ không tầm thường đối với tôi vì có vẻ hợp lý là ví dụ nằm trong . $\mathrm{BPNC}^1=\mathrm{NC}^1$ $s,t\textrm{-Connectivity}$ $\textrm{BPNC}^1$

Một bài đăng có liên quan về chủ đề này: /mathpro//questions353184/use-of-randomness-in-constant-abul-time

circuit-complexity randomized-algorithms

— CP
nguồn

Điều gì thúc đẩy linh cảm của bạn về kết nối?

— Michaël Cadilhac

Bạn đang hỏi về các lớp mạch thống nhất ? Đó là khá rõ ràng rằng sự không đồng dạng lớp như

được đóng dưới sự điều hành của BP.

N C^{1}

$\mathrm{NC^1}$

— Emil Jeřábek

Chỉ cần sử dụng đối số tương tự như đối với P / poly. Bạn chỉ cần các chức năng đa số, đó là định nghĩa trong

. (Ajtai và Ben-Hoặc cần thêm công việc vì đa số không có sẵn trong

)

T C^{0} \subseteq N C^{1}

$\mathrm{TC^0\subseteq NC^1}$

A C^{0}

$\mathrm{AC^0}$

— Emil Jeřábek

@ EmilJeřábek bạn hoàn toàn đúng. Đối với mỗi lớp mạch phi unifom trên

chúng ta có

. Cảm ơn rât nhiều.

{TC}^{0}

$\textrm{TC}^0$

BP - C = C

$\textrm{BP}-\mathcal{C}=\mathcal{C}$

— CP

@ EmilJeřábek: À, tôi hiểu rồi. Tôi nghĩ đó là đường biên giới; Đây rõ ràng không phải là một câu hỏi nghiên cứu , nhưng rõ ràng nó đã được hỏi một cách nghiêm túc bởi một người có kinh nghiệm nghiên cứu phức tạp, người chỉ đơn giản là bị lừa khi cố gắng mở rộng Ajtai-Ben-Or thay vì sử dụng cách tiếp cận đơn giản hơn.

— Joshua Grochow

Hầu hết sự phức tạp không đồng dạng classes- bao gồm-đều đóng cửa dưới điều hành bởi đối số tương tự như : sử dụng Chernoff-Hoeffding ràng buộc, xác suất của lỗi có thể được giảm xuống dưới bằng cách chạy song song của mạch với các bit ngẫu nhiên độc lập song song và lấy phiếu đa số; sau đó bằng liên kết ràng buộc, một chuỗi các bit ngẫu nhiên cho kết quả chính xác cho tất cả đầu vào có độ dài $\mathrm{NC^1}$ $\mathrm{BP}$ $\mathrm{BPP\subseteq P/poly}$ $2^{-n}$ $O(n)$ $2^n$ $n$ đồng thời với xác suất khác không, và đặc biệt, tồn tại một chuỗi như vậy. Chúng ta có thể buộc nó vào mạch.

Đối số này áp dụng cho bất kỳ loại mạch nào được đóng theo phần lớn các bản sao song song của mạch và sửa các cổng đầu vào cho các hằng số. Trong thực tế, điều này có nghĩa là bất kỳ lớp nonuniform phong nha nào trên , vì phần lớn là tính toán được trong . $O(n)$ $\mathrm{TC^0}$ $\mathrm{TC^0}$

Bằng chứng phức tạp hơn đối với , vì lớp này không tính được hàm đa số. (Trong khi tôi chưa nhìn thấy giấy Ajtai và Ben-Or, tôi đoán họ sử dụng một số loại đa số gần đúng.) $\mathrm{AC^0}$

— Emil Jeřábek
nguồn