Liệu định luật trung gian có bao hàm Axiom K trong lý thuyết loại cường độ của Martin-Löf không?

Vì vậy, tôi đã tự hỏi nếu Luật loại trừ trung gian (LEM) ngụ ý cái gọi là Axiom K trong Lý thuyết loại cường độ của Martin-Löf. Axiom K nói rằng Trên thực tế, tôi đã cố gắng chứng minh tuyên bố chung chung hơn rằng nhưng sau khi giảm thành bằng cảm ứng đẳng thức, tôi bị kẹt vào vấn đề đầu tiên. Tôi cũng đã cố gắng tiến hành bằng mâu thuẫn, nhưng dường như nó không hoạt động ..

Π_{A : T y p e} Π_{x : A} Π_{p : Id (x, x)}, Id (p, {refl}_{x})

$\Pi_{A : Type} \Pi_{x : A} \Pi_{p : \text{Id}(x,x)}, \text{Id}(p,\text{refl}_x)$

Π_{A : T y p e} Π_{x, y : A} Π_{p, q : Id (x, y)}, Id (p, q)

$\Pi_{A : Type} \Pi_{x, y : A} \Pi_{p,q : \text{Id}(x,y)}, \text{Id}(p,q)$

q

$q$

{refl}_{x}

$\text{refl}_x$

Điều này có thể chứng minh được không?

lo.logic type-theory lambda-calculus

— Loại sinh viên
nguồn

Vâng, LEM ngụ ý K. Xem Hott cuốn sách Định lý 7.2.5 , được gọi là định lý Hedberg, mà cho thấy rằng bất cứ định dạng đáp ứng bình đẳng decidable Axiom . Nếu chúng ta giả sử loại trừ giữa, tất cả các loại có sự bình đẳng có thể quyết định. $K$

Nguyên tắc thứ hai của bạn được gọi là UIP hoặc tính duy nhất của bằng chứng nhận dạng. Nó tương đương với Axiom K, xem Định lý 7.2.1 trong sách HoTT (chỉ cần cuộn lên từ 7.2.5 bằng một trang). Cả hai điều này đều không thể được bắt nguồn từ lý thuyết kiểu nội tâm của Martin-Löf, bởi một kết quả nổi tiếng của Thomas Stre Rich và Martin Hofmann .

— Andrej Bauer
nguồn

Tôi sẽ nhân cơ hội này để đề cập đến bằng chứng thanh lịch của Alan Schmitt, trong đó nêu rõ thành phần chính: khả năng, đưa ra bằng chứng bình đẳng, để tạo ra một bằng chứng kinh điển.

— gallais

Tuy nhiên, cũng cần lưu ý rằng, như được chỉ ra trong Sách HoTT, có một dạng "LEM" yếu hơn không bao hàm K và được cho là ý nghĩa của các nhà toán học thực sự của LEM, cụ thể là LEM bị hạn chế đối với các loại phụ.

— Mike Shulman