Có các ngôn ngữ NP- hoặc P-hoàn chỉnh đối xứng cao không?

Có tồn tại , một ngôn ngữ hoàn chỉnh NP hoặc P có một số nhóm đối xứng (hoặc groupoid , nhưng sau đó các câu hỏi thuật toán trở nên cởi mở hơn) hoạt động (trong thời gian đa thức) trên các tập sao cho có ít quỹ đạo, nghĩa là sao cho cho đủ lớn và một số và sao cho có thể được tạo cho cách hiệu quả?G $L$$G_n$| L n / G n | < n c n c G n$L_n = \{ l \in L \mid |l| = n \}$$|L_n / G_n| < n^c$$n$$c$$G_n$$n$

Vấn đề ở đây là nếu người ta tìm thấy một ngôn ngữ / nhóm như thế này và nếu người ta có thể tìm thấy các hình thức bình thường theo các hành động của nhóm thời gian đa thức trong , thì người ta có thể giảm bằng cách giảm xuống ngôn ngữ thưa thớt bằng cách tính toán dạng bình thường cho bất kỳ cho nào , ngụ ý rằng hoặc L P T I M E N P = N P L = $\mathrm{FP}$$L$$\mathrm{PTIME}$$N$$\mathrm{P = NP}$$\mathrm{L = P}$, tùy thuộc vào việc bạn chọn ngôn ngữ hoàn chỉnh NP hoặc P ban đầu, tương ứng. Vì vậy, dường như không có nhóm nào có quỹ đạo thưa thớt hoặc việc tính toán các hình thức bình thường là khó đối với tất cả các nhóm như vậy hoặc một trong những kết quả này sẽ giữ được mà tôi nghĩ rằng hầu hết chúng ta không tin. Ngoài ra, dường như nếu người ta có thể tính toán mối quan hệ tương đương trên các quỹ đạo thay vì các dạng thông thường, thì người ta vẫn có thể thực hiện điều này một cách không đồng nhất, trong . Hy vọng một số người khác có suy nghĩ về điều này.$\mathrm{P/poly}$

Đối với NP, điều này có vẻ khó xây dựng. Đặc biệt, nếu bạn cũng có thể lấy mẫu (gần) các yếu tố thống nhất từ ​​nhóm của mình - điều này đúng với nhiều cách xây dựng nhóm tự nhiên - thì nếu một ngôn ngữ hoàn chỉnh NP có hành động nhóm đa thời gian với vài quỹ đạo, PH sẽ sụp đổ. Đối với, với giả định bổ sung này về khả năng lấy mẫu, giao thức chuẩn cho biểu đồ đẳng cấu đồ thị cũng hoạt động để kiểm tra xem hai chuỗi có nằm trong cùng một quỹ đạo G n hay không. Sau đó chúng tôi sẽ có N P ⊆ c o Một M / p o l y = c o N P /$\mathsf{coAM}$$G_n$ , vì vậy sụp đổ PH để Z P P N P . Vì vậy, để tránh sụp đổ PH, bất kỳ cấu trúc nào như vậy cho NP sẽ cần các nhómkhôngcó bộ lấy mẫu gần như đồng nhất hiệu quả.$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{coAM/poly} = \mathsf{coNP/poly}$$\mathsf{ZPP}^{\mathsf{NP}}$

Trực giác của tôi là một ngôn ngữ hoàn chỉnh NP thuộc loại này sẽ gây ra sự sụp đổ của hệ thống phân cấp đa thức giống như ngôn ngữ trong định lý Karp mộng Lipton.

Cụ thể hơn, nếu bạn lên cấp thứ hai của hệ thống phân cấp đa thức, bạn có thể sử dụng sức mạnh của hệ thống phân cấp để đoán sự tương đương giữa một yếu tố nhóm nhất định và một số đại diện của một lớp tương đương, và sau đó bạn trở lại Karp Trường hợp của LIPLton trong đó thực tế là bạn có nhiều đầu vào không tương đương đưa bạn vào P / poly.

(Kết quả phải giống như câu trả lời của Joshua Grochow, nhưng không có thêm giả định về khả năng lấy mẫu.)