Giảm giữa các ngôn ngữ có mật độ khác nhau?

Các mật độ của một ngôn ngữ $X$ là một hàm $d_X \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ được định nghĩa là

Nếu mật độ của không liên quan đến đa thức với mật độ của B , thì có thể giảm logspace từ B xuống A không?$A$$B$$B$$A$

Lý lịch

Tôi hy vọng câu trả lời là không, nhưng hiện tại không thể hiển thị điều này.

Rõ ràng, nếu là L thì không có giảm logspace từ B đến A . Vì vậy, có một số ví dụ mà có thể cung cấp một câu trả lời phủ định rõ ràng.$A$$\mathsf{L}$$B$$A$

Đầu tiên tôi đã có trong tâm trí các trường hợp là một số ngôn ngữ cứng, và A thu được bằng cách thổi lỗ hổng trong B bằng cách lấy A = B ∩ G , đối với một số ngôn ngữ khoảng cách G chứa tất cả các từ có độ dài n ∈ S G đối với một số bộ S G ⊆ N (xem Schmidt 1985 và cả Regan và Vollmer 1997 ). Điều này đảm bảo giảm tầm thường từ A đến B . Khoảng cách ngôn ngữ G thường có khoảng cách tăng theo cấp số nhân giữa các khoảng kích thước trong$B$$A$$B$$A = B\cap G$$G$$n \in S_G$$S_G \subseteq \mathbb{N}$$A$$B$$G$ . Điều này đảm bảo rằng mật độ của A và B không liên quan đến đa thức. Tuy nhiên, không có gì bảo đảm rằng thổi lỗ bằng một ngôn ngữ luôn luôn làm phát sinh một ngôn ngữ có cấu trúc quá ít để có được mục tiêu giảm từ B . (Thuật ngữthổi lỗlà từDowney và Fortnow 2003.) Sự khác biệt về mật độ có thể đủ để đảm bảo điều này, nhưng tôi không thấy ngay lập tức.$S_G$$A$$B$$B$

Một ví dụ khác là khi là một hỗn hợp của một ngôn ngữ cứng và Một . Đầu tiên tạo ra một ngôn ngữ gappy Một ∉ L bởi giao nhau một số ngôn ngữ C ∉ L với một ngôn ngữ khoảng cách G . A sau đó sẽ chỉ chứa các phiên bản có kích thước nằm trong các khoảng của tập hợp kích thước S G xác định ngôn ngữ khoảng cách. Bây giờ, tạo B bằng cách trộn Một với một số ngôn ngữ cứng D vào những khoảng trống, bằng cách tham gia công đoàn của A và giao lộ của D với sự bổ sung của G . Nếu $B$$A$$A\not\in\mathsf{L}$$C \not\in \textsf{L}$$G$$A$$S_G$$B$$A$$D$$A$$D$$G$$D$là đủ cứng so với , chẳng hạn như D là 2EXPSPACE -Hard trong khi C ∈ pspace ∖ L , sau đó bởi hệ thống phân cấp không gian lý không thể có giảm logspace từ D đến A . Sau đó nó dường như có thể mở rộng này để chứng minh rằng không có giảm logspace từ B đến A .$C$$D$$\textsf{2EXPSPACE}$$C \in \textsf{PSPACE} \setminus \textsf{L}$$D$$A$$B$$A$

Điều này vẫn để lại tình huống khó hơn C nhưng "không quá nhiều", ví dụ, lấy D là SAT và C là STCON, hoặc D là QBF-SAT và C là SAT. Để có được một kết quả, người ta có thể phải giả định L ≠ N P cho STCON / SAT hoặc N P ≠ P S P Một C E cho SAT / QBF-SAT, nhưng nó không phải là ngay lập tức rõ ràng với tôi làm thế nào để sử dụng các giả định này.$D$$C$$D$$C$$D$$C$$\mathsf{L} \ne \mathsf{NP}$$\mathsf{NP} \ne \mathsf{PSPACE}$

Hãy là bất kỳ ngôn ngữ không trong L , như vậy mà A có mật độ 2 o ( n ) , và xác định B = { s ∘ 1 | s ∈ { 0 , 1 } ∗ } ∪ { s ∘ 0 | s ∈ A } . Dưới đây ∘ là nối. Ngôn ngữ B có mật độ Ω ( 2 n$A$ $L$$A$$2^{o(n)}$