Là SAT chiều rộng giới hạn có thể quyết định trong logspace?

Elberfeld, Jakoby và Tantau 2010 ( ECCC TR10-062 ) đã chứng minh một phiên bản hiệu quả của định lý Bodlaender. Họ đã chỉ ra rằng đối với các đồ thị có treewidth nhiều nhất là , có thể tìm thấy phân rã cây có chiều rộng bằng cách sử dụng không gian logarit. Các yếu tố không đổi trong không gian ràng buộc phụ thuộc vào . (Định lý Bodlaender cho thấy thời gian tuyến tính bị ràng buộc, với sự phụ thuộc theo cấp số nhân vào trong hệ số không đổi.) $k$ $k$ $k$ $k$

SAT trở nên dễ dàng khi tập các mệnh đề có chiều rộng thấp. Cụ thể, Fischer, Makowsky và Ravve 2008 đã chỉ ra rằng sự thỏa mãn của các công thức CNF với treewidth của đồ thị tỷ lệ giới hạn bởi có thể được quyết định với tối đa hoạt động số học khi phân tách cây được đưa ra. Theo định lý của Bodlaender, tính toán phân rã cây của biểu đồ tỷ lệ cố định cho cố định có thể được thực hiện trong thời gian tuyến tính, và do đó SAT có thể được quyết định cho các công thức treewidth bị ràng buộc theo thời gian là một đa thức bậc thấp trong số lượng biến . $k$ $2^{O(k)} n$ $k$ $n$

Sau đó, người ta có thể mong đợi rằng SAT thực sự có thể được quyết định bằng cách sử dụng không gian logarit, đối với các công thức có giới hạn treewidth của biểu đồ tỷ lệ. Không rõ làm thế nào để sửa đổi Fischer et al. cách tiếp cận để quyết định SAT vào một cái gì đó hiệu quả không gian. Thuật toán hoạt động bằng cách tính toán một biểu thức cho số lượng giải pháp, thông qua loại trừ bao gồm và đánh giá đệ quy số lượng giải pháp của các công thức nhỏ hơn. Mặc dù treewidth giới hạn có ích, nhưng các biểu mẫu con dường như quá lớn để tính toán trong không gian logarit.

Điều này dẫn tôi đến hỏi:

Là SAT cho các công thức treewidth giới hạn được biết là trong hoặc ? $\mathsf{L}$ $\mathsf{NL}$

— Salamás Salamon
nguồn

Có phải thực tế là SAT in L cho các trường hợp treewidth bị ràng buộc theo trực tiếp từ kết quả trong bài báo mà bạn đã trích dẫn không? Tập hợp các công thức thỏa đáng là MSO có thể xác định. Do đó, sự thỏa mãn có thể được giải quyết trong thời gian tuyến tính trên đồ thị của treewidth giới hạn thông qua các định lý Bodlaender + Courcelle. Elberfeld-Jakoby-Tantau-2010, cho thấy các thuộc tính MSO có thể được quyết định trong không gian logarit trên đồ thị của treewidth giới hạn bằng cách cung cấp các phiên bản không gian logarit của định lý Bodlaender + Courcelle. Do đó, SAT có thể được quyết định trong logspace trên đồ thị của treewidth giới hạn.

— Mateus de Oliveira Oliveira

@MateusdeOliveiraOliveira, các chi tiết dường như không rõ ràng đối với tôi. SAT có thể xác định được MSO thông qua một cấu trúc có hai mối quan hệ cạnh có hướng (Ví dụ về Người vô tính 2.18), sự kết hợp dẫn đến các cạnh của biểu đồ tỷ lệ một khi đã quên hướng. Tuy nhiên, đối với tôi không rõ ràng rằng có thể sử dụng biểu đồ tỷ lệ tương ứng với MSO - xác định mức độ thỏa mãn (ví dụ, thông qua trang bìa), để có thể áp dụng Bodlaender / Courcelle / EJT.

— András Salamon

Định lý @ AndrásSalomon Courcelle có thể được nêu cho các đồ thị có các đỉnh và cạnh màu. Treewidth của các đồ thị màu như vậy giống như treewidth của các phiên bản không màu. Có nhiều cách mô hình hóa các cấu trúc quan hệ tùy ý dưới dạng biểu đồ màu.

— Mateus de Oliveira Oliveira

Trong trường hợp Công thức, bạn muốn xác định cấu trúc quan hệ mã hóa cùng lúc với công thức và biểu đồ tỷ lệ. (nếu không, làm thế nào bạn xác định mức độ thỏa mãn ở vị trí đầu tiên?) Sau đó, bằng cách sử dụng một khái niệm thích hợp của treewidth cho cấu trúc như vậy, chúng ta có rằng treewidth của cấu trúc (biểu đồ Công thức + Tỷ lệ) nhiều nhất là hằng số phụ gia lớn hơn so với treewidth của đồ thị tỷ lệ mắc một mình. Lưu ý rằng có nhiều cách để xác định các cấu trúc quan hệ kết hợp như vậy và về cơ bản mỗi tác giả sử dụng một cách phù hợp nhất với bối cảnh của mình.

— Mateus de Oliveira Oliveira

@Mateus, cảm ơn bạn! Đó là một nhận xét khá hữu ích; Tôi đã không nhận thức được bản chất "hộp công cụ" của treewidth trong sự phức tạp mô tả. Quan tâm để biến điều này thành một câu trả lời?

— András Salamon

Thật vậy, bằng cách sử dụng các kết quả trong Elberfeld-Jakoby-Tantau-2010, người ta có thể chỉ ra rằng SAT có thể được quyết định trong logspace trên các công thức có biểu đồ tần suất giới hạn treewidth. Dưới đây là một bản phác thảo về các bước chính của bằng chứng về yêu cầu này.

Các khái niệm về phân hủy cây và treewidth có thể được khái quát thành các cấu trúc quan hệ tùy ý. Xem ví dụ phần 2 và 3 của bài viết này của Dalmau, Kola viêm và Vardi.
Định lý của Courcelle nói rằng logic MSO có thể được quyết định theo thời gian tuyến tính trên các cấu trúc quan hệ của treewidth không đổi.
$t$ $f(t)\cdot n$
$\tau$ $F$ $I$ $\tau$ $I$
$\tau$
Do đó, theo định lý của Bodlander + Courcelle, người ta có thể quyết định liệu một công thức của treewidth không đổi có thỏa đáng trong thời gian tuyến tính hay không.
Elberfeld-Jakoby-Tantau-2010 cho thấy "thời gian tuyến tính" có thể được thay thế bằng "không gian logarit" trên cả định lý Bodlaender và Courcelle.
$\varphi$ $\tau$ $\tau$ $\varphi$
Cụ thể, SAT có thể được xác định trong logspace trên đồ thị của treewidth không đổi.

— Mateus de Oliveira Oliveira
nguồn