Thêm khớp với đường dẫn Hamilton để giảm khoảng cách tối đa giữa các cặp đỉnh đã cho

Sự phức tạp của vấn đề sau đây là gì?

Đầu vào :

• K n$H$ một đường dẫn Hamilton trong$K_n$
• $R \subseteq [n]^2$ một tập hợp con của các cặp đỉnh
• một số nguyên dương$k$

Truy vấn : có phù hợp sao cho mọi , ? (trong đó )( v , u ) ∈ R d G ( v , u ) ≤ k G = ( [ n ] , M ∪ H $M$$(v,u) \in R$$d_G(v,u) \leq k$
$G = ([n], M\cup H)$

Tôi đã có một cuộc thảo luận với một người bạn về vấn đề này. Bạn tôi nghĩ rằng vấn đề là trong thời gian đa thức. Tôi nghĩ rằng nó là NP-hoàn thành.

Câu trả lời này không chính xác .

Bạn của bạn nói đúng. Vấn đề của bạn (như được giải thích bởi Sasho) không đặt ra bất kỳ hạn chế nào đối với tính chính xác của phù hợp . Vì vậy, chọn C là một kết hợp giữa các cặp trong R . Khi đó với bất kỳ số nguyên dương k nào , khoảng cách giữa mọi cặp trong R nhỏ hơn k .$C$$C$$R$$k$$R$$k$

Vấn đề của bạn trở nên thú vị nếu bạn buộc đường dẫn để chứa cạnh từ cả hợp và đường dẫn P .$C$$P$

CẬP NHẬT: câu trả lời dưới đây là không chính xác, vì tôi đã sai khi cho rằng đường dẫn Hamilton nằm trong một biểu đồ tùy ý, không phải trong . Tôi để nó không bị xóa, có lẽ tôi sẽ có thể sửa nó hoặc nó sẽ đưa ra một số gợi ý cho câu trả lời khác.$K_n$

Tôi nghĩ đó là NP-đầy đủ. Đây là một ý tưởng giảm rất nhanh không chính thức từ 3SAT

Đối với mỗi biến thêm một "tiện ích biến" với:$x_i$

• ba nút $X_i, +X_i, -X_i$
• hai cạnh biến và ( X i , - X i$(X_i,+X_i)$$(X_i,-X_i)$

Thêm một nút nguồn và kết nối nó với tất cả các biến X i .$S$$X_i$

Với mỗi mệnh đề thêm một nút C j và kết nối nó với các biến tương ứng + X i hoặc - X i tạo thành mệnh đề.$C_j$$C_j$$+X_i$$-X_i$

Bức tranh sau đây đại diện cho: $(+x_1 \lor -x_2 \lor -x_3) \land (-x_2 \lor x_3 \lor x_4)$

Tập (các nút phải được liên kết) chứa ( S , C 1 ) , ( S , C 2 ) , . . $R$$(S, C_1), (S,C_2), ...$

Đường dẫn đơn giản phải bao gồm tất cả các cạnh "BLUE" ngoại trừ các cạnh biến ( X i , + X i ) và ( X i , - X i ) (trong hình phía trên các cạnh màu xanh biểu thị các cạnh mà chúng ta đưa vào P ).$P$$(X_i, +X_i)$$(X_i, -X_i)$$P$

Tại thời điểm này, công thức ban đầu là thỏa đáng khi và chỉ khi đường đi ngắn nhất từ đến mỗi nút mệnh đề C j không lớn hơn ba. Thật vậy, để đạt được một mệnh đề từ S trong ba bước, chúng ta phải đi qua ít nhất một biến X i : S → X i → ± X i → C j . Vì vậy, chúng ta phải đi qua một trong hai cạnh: X i → + X i hoặc X i → - X i ) và đưa nó vào $S$$C_j$$S$$X_i$$S \to X_i \to \pm X_i \to C_j$$X_i \to +X_i$$X_i \to -X_i)$$C$(bởi vì bằng cách xây dựng nó không phải là một phần của ). Nhưng cả hai không thể được bao gồm, bởi vì chúng có chung một đỉnh.$P$

Nhưng chúng tôi không chắc chắn rằng chúng tôi có thể xây dựng một đường dẫn P đơn giản bao gồm tất cả các cạnh màu xanh lam vì một số nút có nhiều hơn một cạnh màu xanh.$P$

Để khắc phục điều này, chúng tôi thay thế mỗi nút bằng nhiều cạnh màu xanh lam sự cố, với một cây chỉ chứa các cặp cạnh màu xanh lam sự cố sẽ được bao gồm trong và các cạnh tách chúng ra và cần được đưa vào C để đến các nút mệnh đề:$P$$C$

Biểu đồ ban đầu trở thành:

$K$$C_j$$S$

$C$

$P$