Tìm một chu kỳ 5 trong một biểu đồ thưa thớt một cách hiệu quả.

(gạch chéo từ MathOverflow)

Chào,

Tôi đã đọc chủ đề này: /mathpro/16393/finding-a- Motorcycle-of -fixed-length

Tôi muốn tìm một chu kỳ 5 trong một biểu đồ. Trên thực tế, những gì tôi thực sự muốn là một chu kỳ kỳ lạ ngắn nhất có độ dài ít nhất là 5, nhưng có lẽ đó là một chút bên cạnh điểm. Đối với mục đích của tôi, tôi đối xử với và n giống nhau trong phân tích phức tạp. $m$$n$

Chúng ta có thể làm tốt hơn mã màu để tìm 5 chu kỳ trong trường hợp này không? Hãy để tôi đưa ra một công thức cụ thể của câu hỏi của tôi:

Giá trị tối thiểu sao cho có thuật toán thời gian O ( m α ) để phát hiện chu kỳ dài 5? Thuật toán là gì? Và đây là những gì α nếu bạn cấm các phương pháp không thực tế như Coppersmith-Winograd ma trận nhanh phép nhân?$\alpha$$O(m^\alpha)$$\alpha$

Để thêm vào câu trả lời của Mihai:

Thật vậy, 5 chu kỳ (và nói chung là mô-tơ) trong các biểu đồ thưa thớt có thể được giải quyết nhanh hơn nhiều so với thời gian O ( m n ) bằng cách sử dụng thủ thuật mức độ cao / mức độ thấp. Bạn chỉ cần nhìn vào một bài báo khác của Alon, Yuster và Zwick:$k$$O(mn)$

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.101.4120

Ví dụ, 5 chu kỳ có thể được tìm thấy trong thời gian , mà không phụ thuộc vào phép nhân ma trận. Xem Định lý 3.4 của bài báo liên kết ở trên.$O(m^{1.67})$

Ngoài ra, mặc dù không quá khó để giảm phát hiện 5 chu kỳ thành phép nhân ma trận Boolean (với chi phí nhân tố không đổi), việc giảm theo hướng ngược lại không xuất hiện trong bài viết mã màu. Việc giảm chặt chẽ (bảo tồn độ phức tạp thời gian chạy) từ phép nhân ma trận Boolean sang phát hiện 5 chu kỳ không được biết đến.

Trường hợp dày đặc về cơ bản tương đương với phép nhân ma trận boolean bằng mã màu. Xem http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/doad?doi=10.1.1.103.5167&rep=rep1&type=pdf .

$O(mn)$