Sự phức tạp của việc kiểm tra nếu hai từ có xen kẽ trong một ngôn ngữ

Đối với một ngôn ngữ cố định trên một số bảng chữ cái , chúng ta hãy xem xét vấn đề sau, mà tôi gọi là L$L$$A$$L$ -INTERLEAVING :

• Đầu vào: hai từ $u, v \in A^*$
• Output: cho dù có tồn tại một đan xen của và v mà là ở$u$$v$ .$L$

Ở đây, xen kẽ hai từ và v là một từ w có thể thu được bằng trực giác bằng cách lấy các chữ cái của u và v trong khi giữ trật tự tương đối của chúng. Chính thức, w là sự xen kẽ của u và v nếu chúng ta có thể phân chia nó thành hai chuỗi khác nhau, một chuỗi bằng u và cái kia bằng v . Ví dụ: "bheleloll" là sự xen kẽ của "xin chào" và "chuông".$u$$v$$w$$u$$v$$w$$u$$v$$u$$v$

Sự phức tạp của vấn đề -INTERLEAVING, tùy thuộc vào ngôn ngữ L là gì? $L$$L$Đặc biệt:

• Nếu là thường xuyên, thì chúng ta có thể giải quyết vấn đề bằng thuật toán động trên hai chuỗi cho thấy nó nằm trong lớp NL. Có phải NL-hard đối với một số ngôn ngữ thông thường? Tuy nhiên, đối với một số ngôn ngữ thông thường, vấn đề rõ ràng là ở L (logspace xác định). Có một số đặc điểm của các ngôn ngữ mà vấn đề là trong L?$L$
• Nếu không thường xuyên, vấn đề vẫn nằm ở NL khi L có độ phức tạp không gian xác định trực tuyến đa thức (xem ở đây để biết khái niệm này, hoặc câu hỏi trước đây của tôi ). Tuy nhiên, điều này không bao gồm, ví dụ, tất cả các ngôn ngữ không ngữ cảnh; tuy nhiên, một số khác (ví dụ, palindromes) cũng có thể được hiển thị là NL (ví dụ: bằng cách thực hiện đồng thời một thuật toán động từ đầu và từ cuối). Có một ngôn ngữ không ngữ cảnh mà vấn đề L- interleaving là NP-hard?$L$$L$$L$

Đối với một từ và cho hai số nguyên i , j với 1 ≤ i ≤ j ≤ ℓ chúng ta ký hiệu bởi w ( i , j ) các subword w i w i $w=w_1\ldots w_{\ell}$$i,j$$1\le i\le j\le \ell$$w(i,j)$ củaw. Hơn nữa, chúng tôi cho phépw(0,0$w_iw_{i+1}\ldots w_j$$w$$w(0,0)$ biểu thị từ trống.

• Hãy để và v = v 1 ... v $u=u_1\ldots u_m$$v=v_1\ldots v_n$ là hai từ được xem xét.
• Giả sử rằng ngôn ngữ không ngữ cảnh $L$ được chỉ định bởi một ngữ pháp không ngữ cảnh ở dạng bình thường Chomsky.

Xây dựng một chương trình động, trong đó một trạng thái $[i,j,r,s,A]$ được chỉ định bởi

• hai số nguyên $i,j$ với hoặc i = j = $1\le i\le j\le m$$i=j=0$
• hai số nguyên $r,s$ với hoặc r = s = $1\le r\le s\le n$$r=s=0$
• ký hiệu không đầu cuối trong ngữ pháp không ngữ cảnh$A$

Đối với mọi trạng thái, hãy quyết định xem trong ngữ pháp không ngữ cảnh có tồn tại một số dẫn xuất bắt đầu bằng phi và kết thúc bằng một số xen kẽ của hai từ u ( i , j ) và w ( r , s ) . Quyết định này có thể dễ dàng được đưa ra, nếu các trạng thái được xử lý theo đúng thứ tự (các từ khóa ngắn trước các từ khóa dài hơn).$A$$u(i,j)$$w(r,s)$

Tất cả trong tất cả, điều này mang lại một thuật toán thời gian đa thức cho -interleaving vấn đề của bất kỳ bối cảnh tự do ngôn ngữ L .$L$$L$