Là giảm trong cùng vĩnh viễn trong-tính toán?

(Tôi đã hỏi điều này tại MathOverflow, nhưng không có câu trả lời nào ở đó.)

Lý lịch

Trong phép tính lambda chưa được đánh dấu, một thuật ngữ có thể chứa nhiều redexes và các lựa chọn khác nhau về việc giảm cái nào có thể tạo ra kết quả rất khác nhau (ví dụ trong một bước ( -) giảm xuống hoặc chính nó). Các lựa chọn (trình tự) khác nhau về nơi giảm được gọi là chiến lược giảm . Một thuật ngữ được cho là bình thường hóa nếu có một chiến lược rút gọn đưa về dạng bình thường. Một thuật ngữ được cho là bình thường hóa mạnh mẽ nếu mọi chiến lược giảm mang lạiβ y t t t $(\lambda x.y)((\lambda x.xx)\lambda x.xx)$$\beta$$y$$t$$t$$t$$t$về dạng bình thường. (Tôi không lo lắng về điều đó, nhưng hợp lưu đảm bảo không thể có nhiều hơn một khả năng.)

Một chiến lược giảm được cho là bình thường (và trong một số cảm giác tốt nhất có thể) nếu bất cứ khi nào có một hình thức bình thường, thì đó là nơi mà chúng ta sẽ kết thúc. Chiến lược ngoài cùng bên trái là bình thường hóa.$t$

Ở đầu kia của quang phổ, một chiến lược giảm được gọi là vĩnh viễn (và theo một nghĩa nào đó tồi tệ nhất có thể) nếu bất cứ khi nào có một chuỗi giảm vô hạn từ một thuật ngữ , thì chiến lược đó tìm thấy một chuỗi như vậy - nói cách khác, chúng ta có thể không thể bình thường hóa, sau đó chúng ta sẽ làm.$t$

Tôi biết về các chiến lược giảm vĩnh viễn và được đưa ra tương ứng bởi: và (Trong cả hai trường hợp, -redex được chỉ định là cái ngoài cùng bên trái trong thuật ngữ C [(\ lambda xs) t] - và trên các hình thức bình thường, các chiến lược giảm nhất thiết phải là nhận dạng.)F b k F b k ( C [ ( λ x . S ) t ] ) = C [ s [ t / x ] ] nếu  t  đang bình thường hóa mạnh mẽ F b k ( C [ ( λ x . S ) t ] ) = C [ ( λ x . S ) F $F_\infty$$F_{bk}$ F ∞ (C[(λx.s)t])=C[s[t / x]] nếu  x  xảy ra trong  s hoặc nếu  t  ở dạng bình thường F ∞ (C[(λx.s)t])=C[(λx

$$\begin{array}{ll} F_{bk}(C[(\lambda x.s)t])=C[s[t/x]] & \text{if $t$ is strongly normalizing} \\ F_{bk}(C[(\lambda x.s)t])=C[(\lambda x.s)F_{bk}(t)] & \text{otherwise} \end{array}$$ $$\begin{array}{ll} F_\infty(C[(\lambda x.s)t])=C[s[t/x]] & \text{if $x$ occurs in $s$, or if $t$ is on normal form} \\ F_\infty(C[(\lambda x.s)t])=C[(\lambda x.s)F_\infty(t)] & \text{otherwise} \end{array}$$ $\beta$F $C[(\lambda x.s)t]$$F_\infty$ thậm chí là tối đa - nếu nó bình thường một thuật ngữ, thì nó đã sử dụng chuỗi giảm dài nhất có thể để làm như vậy. (Xem ví dụ 13.4 trong cuốn sách của Barendregt.)

Bây giờ hãy xem xét chiến lược giảm trong cùng bên trái . Một cách không chính thức, nó sẽ chỉ giảm một $\beta$ -redex không chứa các redexes khác. Chính thức hơn, nó được định nghĩa bởi

$$\begin{array}{ll} L(t) = t &\text{if $t$ on normal form}\\ L(\lambda x.s) = \lambda x. L(s) &\text{for $s$ not on normal form}\\ L(st) = L(s)t &\text{for $s$ not on normal form}\\ L(st) = s L(t) &\text{if $s$, but not $t$ is on normal form}\\ L((\lambda x. s)t) = s[t/x] &\text{if $s$, $t$ both on normal form} \end{array}$$

---

Trực giác tự nhiên để giảm thiểu trong cùng bên trái là nó sẽ làm tất cả công việc - không có redex nào có thể bị mất, và do đó nó phải là vĩnh viễn. Vì chiến lược tương ứng là vĩnh viễn cho logic kết hợp (chưa được xử lý) (giảm trong cùng là vĩnh viễn cho tất cả các TRW trực giao), nên điều này không giống như sự lạc quan hoàn toàn không bị che giấu ...

Là giảm bên trái trong cùng là một chiến lược vĩnh viễn cho -calculus chưa được đánh dấu?$\lambda$

Nếu câu trả lời là 'không', một con trỏ tới mẫu phản cũng sẽ rất thú vị.

Tôi tin rằng với sẽ chấm dứt sử dụng ngay cả khi nó có mức giảm vô hạn.$tt$$t=(\lambda x. (\lambda y.1) (x x))$$L$

Bước giảm đầu tiên là: .$L(tt)=L(t)t=L(\lambda x.(\lambda y.1) (x x))t=(\lambda x.L((\lambda y.1) (x x)))t=(\lambda x.1)t$

Bước giảm đầu tiên với là .F ∞ ( [ ( λ x . ( Λ y .1 ( x x ) ) ) t ] ) ) = ( λ y .1 ) ( t t $F_\infty$$F_\infty([(\lambda x.(\lambda y.1 (x x))) t]))=(\lambda y.1) (tt)$