Giới hạn dưới về số lượng đường dẫn ngắn gọn trong một cây gốc với kích thước đa thức

Đặt là cây nhị phân có gốc. Mọi đường dẫn từ gốc T đến một chiếc lá đều có chiều dài n . Mỗi nút của T luôn có một nút con trái và phải nhưng có thể chúng giống nhau (Vì vậy luôn có 2 n đường dẫn có thể). Kích thước của T được giới hạn bởi O ( p o l y ( n ) ) . Một nút với các nút con khác nhau được gọi là nút phân nhánh .$T$$T$$n$$T$$2^n$$T$$O(poly(n))$

Chúng ta nói rằng hai đường dẫn khác nhau, có một nút chia nhánh và một đường dẫn đến nút con bên trái và đường dẫn khác đi đến nút con bên phải. Rõ ràng là có ít nhất một đường dẫn trong với các nút phân nhánh O ( log n ) . Nếu không sẽ có quá nhiều nút trong T .$T$$O(\log n)$$T$

Có giới hạn thấp hơn về số lượng đường dẫn với các nút phân nhánh nếu tôi biết có các nút phân nhánh ω ( log n ) trong cây không?$O(\log n)$$\omega(\log n)$

Giới hạn dưới là các đường dẫn với các nút phân nhánh O ( log n ) , nếu bạn có ít nhất các nút phân nhánh Ω ( log n ) trong cây.$\Omega(\log n)$$O(\log n)$$\Omega(\log n)$

Điều này có thể đạt được: sử dụng một cây có một đường dẫn dài (chiều dài ) tất cả các nút có nút phân nhánh, không có nút phân nhánh nào khác trong cây.$n$

Dưới đây là một bản phác thảo của giới hạn dưới.

Đầu tiên, nén chặt cây bằng cách ký hợp đồng với bất kỳ nút bên trong nào không phải là nút phân nhánh. Nếu kích thước ban đầu của cây là , thì cây mới vẫn phải là < n c , vì bạn chỉ giảm số lượng nút. Bây giờ, độ sâu của một chiếc lá là số nút phân nhánh trên đường dẫn ban đầu đến chiếc lá đó và chúng ta có một cây nhị phân hoàn chỉnh (mỗi nút có độ 2 hoặc 0).$< n^c$$< n^c$

$\Omega(\log n)$$\Omega(\log n)$$\Omega(\log n)$

$d(v)$$\Sigma_{v \mathrm{\ leaf}} 2^{-d(v)} = 1$

$n^c$$O(\log n)$$\log_2(n^{c+1}) = (c+1) \log_2 n$$1/n$$v$$d(v)\leq (c+1) \log_2 n$$\sum_{v\mathrm{\ low \ depth \ leaf}} 2^{-d(v)} > 1-\frac{1}{n}$$\sum_{v\mathrm{\ low\ depth\ leaf}} 2^{-d(v)} < 1$

$2^{-k}$$1$$1-\frac{1}{n}$$\log_2 n$$\Omega(\log n)$$O(\log n)$