Mối quan hệ bậc hai giữa không gian không xác định và không xác định?

Định lý của Savitch cho thấy rằng cho tất cả các hàm đủ lớn và chứng minh rằng điều này là chặt chẽ trong nhiều thập kỷ .$\mathrm{NSPACE}(f(n)) \subseteq \mathrm{DSPACE}(f(n)^2)$$f$

Giả sử chúng ta tiếp cận vấn đề từ đầu kia. Để đơn giản, giả sử bảng chữ cái Boolean. Lượng không gian được sử dụng bởi TM để quyết định ngôn ngữ có thể tính toán thường liên quan chặt chẽ đến logarit của số trạng thái được sử dụng bởi máy tự động mô phỏng TM cho mỗi lát ngôn ngữ thông thường. Điều này thúc đẩy câu hỏi sau đây.

Đặt là số lượng DFA khác biệt về mặt cú pháp với trạng thái và là số lượng khác biệt với trạng thái. Thật đơn giản để chỉ ra rằng gần với . n N n n lg N n ( lg D n ) $D_n$$n$$N_n$$n$$\lg N_n$$(\lg D_n)^2$

Hơn nữa, hãy để là số ngôn ngữ thông thường riêng biệt có thể được DFA nhận ra với trạng thái và đặt là số ngôn ngữ được NFA công nhận. n N ' $D_n'$$n$$N_n'$

Được biết liệu có gần với không? ( lg D ' n ) $\lg N_n'$$(\lg D_n')^2$

Tôi không rõ và , hoặc và , có liên quan với nhau như thế nào, hoặc mức độ chặt chẽ như thế nào. Nếu tất cả điều này liên quan đến một câu hỏi nổi tiếng trong lý thuyết automata thì một gợi ý hoặc con trỏ sẽ được đánh giá cao. Câu hỏi tương tự cũng liên quan đến automata hai chiều, do lý do tương tự, và tôi đặc biệt quan tâm đến phiên bản này.D ' n N n N ' $D_n$$D_n'$$N_n$$N_n'$

Trong bài viết của tôi với Domaratzki và Kisman, "Về số lượng ngôn ngữ riêng biệt được chấp nhận bởi automata hữu hạn với n trạng thái" được xuất bản trong J. Automata, Languages ​​và Combinatorics 7 (2002), chúng tôi đã chứng minh rằng nếu là số lượng riêng biệt các ngôn ngữ được NFA chấp nhận với trạng thái trên bảng chữ cái và tương tự như số ngôn ngữ riêng biệt được DFA chấp nhận, sau đó cho cố địnhn k g k ( n ) k ≥ $G_k (n)$$n$$k$$g_k (n)$$k \geq 2$

(i) , tối đa các điều khoản đơn hàng nhỏ hơn, không có triệu chứngk n log $\log g_k (n)$$kn\log n$

(ii) , tối đa các điều khoản đơn hàng nhỏ hơn, không có triệu chứng giữa và .( k - 1 ) n 2 k n $\log G_k (n)$$(k-1)n^2$$kn^2$