Chuyển đổi thành viên monoid cho DFAs

Với một DFA , chúng ta có thể xác định một tập hợp các hàm cho mỗi và với , . Chúng ta có thể khái quát khái niệm này thành một từ và trong đó biểu thị thành phần chức năng. Hơn nữa, chúng tôi biểu thị và là đơn hình.f một một ∈ Γ f một : Q → Q f một ( q ) = δ ( q , một ) w = một 1 , ⋯ , một m f w = f một 1 ∘ ⋯ ∘ f a m ∘ G = { f $A=(Q, \Gamma, \delta, F)$$f_a$$a\in \Gamma$$f_a:Q\rightarrow Q$$f_a(q)=\delta(q, a)$$w=a_1, \cdots, a_m$$f_w=f_{a_1}\circ \cdots \circ f_{a_m}$$\circ$$G=\{f_w\mid w\in \Gamma^*\}$$G$

[ thường được gọi là monoid chuyển tiếp trong sách giáo khoa tiêu chuẩn, nhưng ở đây tôi tái tạo định nghĩa cho rõ ràng.]$G$

Câu hỏi là, được đưa ra một hàm , chúng ta có thể quyết định (lý tưởng là trong thời gian đa thức) và nếu đây là trường hợp (nghĩa là tồn tại một sao cho ), cho dù chỉ dài đa thức, hay có thể dài theo cấp số nhân? f ∈ G w f = f w$f:Q\rightarrow Q$$f\in G$$w$$f=f_w$$w$

[Tôi đoán rằng thực sự một từ như vậy có thể dài theo cấp số nhân, nhưng tôi đang tìm một ví dụ đơn giản.]

Quyết định

Đó là quyết định. Có chỉ có hữu hạn nhiều chức năng có thể g → h một ∈ $f:Q \to Q$ , vì vậy bạn có thể mô hình hóa nó như một vấn đề về khả năng tiếp cận đồ thị, với một đỉnh cho mỗi hàm và cạnh nếu tồn tại sao cho h = f a ∘ g . Sau đó, thử nghiệm cho dù một hàm g là trong G giảm để thử nghiệm xem g có thể truy cập trong đồ thị từ f ε . Bạn có thể tìm thấy từ ngắn nhất như vậy bằng cách sử dụng lần đầu tiên. Thời gian chạy có thể là số mũ trong Q , mặc dù.$g \to h$$a \in \Gamma$$h = f_a \circ g$$g$$G$$g$$f_\epsilon$$Q$

Độ dài của từ

Từ ngắn nhất như vậy có thể dài theo cấp số nhân. Dưới đây là một ví dụ về một DFA như vậy. Hãy là người đầu tiên k số nguyên tố. Sau đó, một trạng thái sẽ có dạng$p_1,\dots,p_k$$k$ nơi i ∈ { 1 , ... , k } và x i ∈ { 0 , 1 , ... , p i - 1 } . Xác định một DFA với bảng chữ cái đơn nhất Γ = { $(i,x)$$i \in \{1,\dots,k\}$$x_i \in \{0,1,\dots,p_i-1\}$$\Gamma=\{0\}$$\delta((i,x),0 = (i,x+1 \bmod p_i)$$f_0 :Q \to Q$

$$f_0(i,x) = (i,x+1 \bmod p_i).$$

Bây giờ hãy xem xét hàm được cung cấp bởi$g:Q \to Q$

$$g(i,x) = (i,x-1 \bmod p_i).$$

Có thể sử dụng định lý còn lại của Trung Quốc để chỉ ra rằng trong đó và là từ ngắn nhất. Hơn nữa, , vì vậy là theo cấp số nhân lớn trong . n = p 1 × p 2 × ⋯ × p k - 1 0 n | Q | = p 1 + ⋯ + p k n $g = f_{0^n}$$n=p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k -1$$0^n$$|Q|= p_1 + \dots + p_k$$n$$Q$

Do đó, không có hy vọng cho một thuật toán đa thức thời gian tạo ra một từ như vậy. Điều này vẫn để ngỏ khả năng của một thuật toán thời gian đa thức để quyết định xem có trong .$g$$G$