NP-Độ cứng của một trường hợp đặc biệt của vấn đề đóng gói trực giao

Đặt là tập hợp các hình chữ nhật -chiều. Với và , w_d (v) \ in \ mathbb {Q} ^ {+} mô tả độ dài của v trong thứ nguyên d . Các ký hiệu tương tự được sử dụng cho các container C . Các D chiều vuông góc đóng gói vấn đề (OPP- D ) là để quyết định xem V phù hợp vào container C mà không chồng chéo. Nói một cách chính thức, vấn đề là tìm hiểu xem \ forall d \ in \ {1, ..., D \} có tồn tại hàm f_d: V \ rightarrow \ mathbb {Q} ^ {+} hay khôngD d ∈ { 1 , . . . , D } v ∈ V w d ( v ) ∈ Q + v d C D D V C ∀ d ∈ { 1 , . . . , D } f d : V → Q + ∀ v ∈ V , f d ( v ) $V$$D$$d \in \{1,...,D\}$$v \in V$$w_d(v) \in \mathbb{Q}^{+}$$v$$d$$C$$D$$D$$V$$C$$\forall d \in \{1,...,D\}$$f_d:V\rightarrow \mathbb{Q}^{+}$$\forall v \in V, f_d(v)+w_d(v) \leq w_d(C)$ và $\forall v_1,v_2 \in V$ , $(v_1 \neq v_2)$ , $[f_d(v_1),f_d(v_1)+w_d(v_1)) \cap [f_d(v_2),f_d(v_2)+w_d(v_2)) = \emptyset$ .

Vấn đề là NP-đầy đủ (xem Fekete SP, Schepers J. "Về đóng gói chiều cao hơn I: Mô hình hóa". Báo cáo kỹ thuật 97 Phản288, Đại học tại zu Köln, 1997). Vấn đề là NP-đầy đủ ngay cả đối với $D=2$ . Tôi tự hỏi, liệu vấn đề đóng gói trực giao cho một số loại giới hạn (nghĩa là kích thước trong mỗi kích thước) của các mặt hàng vẫn còn NP-đầy đủ hay không. Cho đến bây giờ tôi đã tìm thấy một kết quả trong một số bài báo về tính đầy đủ của việc đóng gói các hình vuông vào một hình vuông (xem JOSEPH YT. LEUNG, TOMMY W. TAM, VÀ CS WONG, "Đóng gói hình vuông vào một hình vuông", Tạp chí song song và tính toán phân tán, Tập 10 Số 3, ngày 3 tháng 11 năm 1990) vốn đã là một hạn chế nhưng tôi vẫn không biết điều gì sẽ xảy ra khi số lượng các loại mặt hàng bị ràng buộc.

Cảm ơn bạn vì câu trả lời,

Tôi nghĩ rằng bài báo của Klaus Jansen và Roberto Solis-Oba " Thuật toán OPT + 1 cho bài toán cắt cổ với số lượng độ dài đối tượng không đổi " có câu trả lời một phần cho câu hỏi của bạn. Họ xem xét một trường hợp đặc biệt của vấn đề của bạn được gọi là sự cố Cắt cổ phiếu khi số loại đối tượng khác nhau không đổi và được định nghĩa như sau:

Trong bài toán cắt cổ phiếu, chúng ta được cung cấp một tập hợp của các loại đối tượng, trong đó các đối tượng loại T i có độ dài nguyên dương p i . Với một tập hợp các thùng, mỗi dung lượng nguyên β , vấn đề là đóng gói một bộ O của n đối tượng vào số lượng thùng tối thiểu có thể sao cho không vượt quá khả năng của các thùng; trong tập O có n i đối tượng loại $T = \{T_1,T_2,\dots,T_d\}$$T_i$$p_i$$\beta$$\mathcal{O}$$n$$\mathcal{O}$$n_i$ , với tất cả i = 1 , Mạnh , d .$T_i$$i =1,\dots,d$

Các tác giả cho rằng

người ta không biết liệu vấn đề cổ phiếu cắt có thể được giải quyết trong thời gian đa thức cho mọi giá trị x .$d$

Và họ đề xuất thuật toán đa thức thời gian xấp xỉ khi d cố định.$OPT+1$$d$

Vì nó không được chứng minh rằng trường hợp đặc biệt này là ở , đây là bằng chứng cho thấy vấn đề của bạn là N P -hard.$P$$NP$

Phụ Lục: nó biết rằng trường hợp với hai loại đối tượng ( ) là đa thức có thể giải quyết, nhưng đối với d = 3 có chỉ được biết đến O P T + 1 -approximation.$d=2$$d=3$$OPT+1$