Trò chơi 2P1R nào có tiềm năng sắc nét?

Trò chơi hai vòng một (2P1R) là một công cụ thiết yếu cho độ cứng gần đúng. Cụ thể, sự lặp lại song song của các trò chơi một vòng hai prover cung cấp một cách để tăng kích thước của một khoảng cách trong phiên bản quyết định của một vấn đề gần đúng. Xem bài nói chuyện khảo sát của Ran Raz tại CCC 2010 để biết tổng quan về chủ đề này.

Sự lặp lại song song của một trò chơi có một đặc tính đáng kinh ngạc là trong khi một trình xác minh ngẫu nhiên hoạt động độc lập, hai người chơi có thể chơi các trò chơi theo cách không độc lập để đạt được thành công tốt hơn so với chơi từng trò chơi một cách độc lập. Lượng thành công được giới hạn ở trên bởi định lý lặp lại song song của Raz:

Định lý : Có tồn tại một hằng số vũ trụ $c$ để cho mỗi trò chơi 2P1R $G$ với giá trị $1-\epsilon$ và trả lời kích thước $s$ , giá trị của trò chơi lặp lại song song $G^n$ là tại hầu hết các $(1-\epsilon^c)^{\Omega(n/s)}$ .

Dưới đây là một phác thảo về công việc xác định hằng số $c$ :

• Giấy gốc của Raz chứng minh $c \leq 32$ .
• Holenstein cải thiện này để $c \leq 3$ .
• Rao cho thấy $c' \leq 2$ cũng đủ (và sự phụ thuộc vào $s$ được lấy ra) đối với trường hợp đặc biệt của trò chơi chiếu.
• Raz đã đưa ra một chiến lược cho trò chơi có chu kỳ kỳ lạ cho thấy kết quả của Rao là sắc nét đối với các trò chơi chiếu.

Bởi cơ thể công việc này, chúng ta biết $2 \leq c\leq 3$ . Hai câu hỏi của tôi như sau:

Câu 1: Các chuyên gia trong lĩnh vực này có đồng thuận về giá trị chính xác của $c$ không?

Nếu người ta cho rằng $c > 2$ , có những trò chơi cụ thể không mang tính phóng xạ, nhưng cũng vi phạm cụ thể các thuộc tính bổ sung của trò chơi trình chiếu mà bằng chứng của Rao yêu cầu.

$c > 2$

Theo cách đọc của riêng tôi, có vẻ như tính chất quan trọng nhất của các trò chơi chiếu mà Rao sử dụng là một chiến lược tốt cho sự lặp lại song song sẽ không sử dụng nhiều câu trả lời có thể cho một số câu hỏi nhất định. Điều này bằng cách nào đó liên quan đến địa phương của các trò chơi chiếu.

Tôi có xu hướng tin rằng c = 3 là câu trả lời đúng cho trường hợp chung và có thể đưa ra một ví dụ. Tôi sẽ phải suy nghĩ thêm về điều đó để biết chắc chắn. Đó là một câu hỏi hay và tôi không biết về công việc hiện có về nó.

Nghiên cứu gần đây tập trung vào loại trò chơi nào (tốt nhất có thể) c = 1, chủ yếu là do các ứng dụng có thể để khuếch đại các trò chơi độc đáo.

• Barak et al đã khái quát mẫu ví dụ của Raz cho tất cả các trò chơi độc đáo có khoảng trống SDP.
• Raz và Rosen đã chỉ ra rằng để mở rộng trò chơi chiếu c = 1. Cũng có những kết quả trước đó bởi một bộ siêu tác giả của những trò chơi miễn phí.

Để có được mọi thứ, tôi có một trò chơi tiềm năng và muốn phản hồi.

$k \geq 2$$m$$3k+1$$m \not\equiv 0 {\pmod {k+1}}$$C_{m}^k$$k+1$$C_m^k$$m$$m$$k$$k+1$$C_m^{k}$$\{1,\dots,k\}$ và tô màu các số theo thứ tự này, vì mỗi bộ số nguyên tuần tự trong tạo thành một cụm. Vì không phải là bội của , nên sẽ có một số điểm mà việc tô màu này thất bại.$\{0,\dots,m-1\}$$k+1$$\{0,\dots,m-1\}$$m$$k+1$

Trình xác minh yêu cầu một đỉnh từ cả hai người chơi, để xác minh rằng màu sắc khớp với nhau hay yêu cầu một cạnh để xác minh rằng màu sắc khác nhau.

Tôi tin rằng đây là một ví dụ tốt cho hai lý do:

1. Nó tương tự như trò chơi có chu kỳ kỳ lạ rằng một chiến lược có thể được xây dựng tương tự như giới hạn dưới của Raz. Một phần quan trọng của chiến lược này là chọn ngẫu nhiên các màu trên các lần lặp lại bằng cách sử dụng ngẫu nhiên được chia sẻ.

2. Bằng cách ngẫu nhiên các hoán vị được sử dụng trong các màu được tạo ngẫu nhiên, số lượng câu trả lời được đưa ra ở mỗi đỉnh bao trùm toàn bộ câu trả lời được đặt theo cách thống nhất, tấn công chiến lược của Rao.

Trò chơi này đã được xem xét / giải quyết chưa?