Phân phối một mối quan hệ nhị phân vào các thùng sao cho mỗi phần tử nằm trong một số lượng nhỏ các thùng

Chúng ta được cho các cặp đối tượng (giả sử, số). Mỗi đối tượng xuất hiện trong tối đa $q$ cặp. Mục tiêu của chúng tôi là phân phối các cặp thành các thùng có kích thước bằng nhau, sao cho mỗi đối tượng xảy ra trong càng ít thùng khác nhau càng tốt.

Chính xác hơn, chúng ta quan tâm đến một hàm $f$ với thuộc tính cho mọi quan hệ nhị phân với $m$ cặp có nhiều nhất $q$ cặp trên mỗi đối tượng, có một phân phối các cặp cho các thùng $p$ , sao cho mỗi thùng nhận được cặp $m/p$ ( $p$ nên chia $m$ ) và không có đối tượng nào xuất hiện trong nhiều thùng $f(m,q,p)$ .

Câu hỏi này xuất hiện trong nghiên cứu của chúng tôi về đánh giá truy vấn song song. Người ta sẽ mong đợi rằng $m$ là lớn so với $p$ . Kích thước "đúng" của $q$ ít rõ ràng hơn. Một kích thước thú vị cho $q$ có thể, ví dụ, $\sqrt{\frac{m}{p}}$ . Một hàm không phụ thuộc vào $q$ , nhưng chỉ hoạt động trong một phạm vinhất định $q$ cũng sẽ hữu ích (nhưng không phải là $q=O(1)$ ).

Trên thực tế, chúng tôi sau khi bờ cõi của các hình thức $p^{1-\epsilon}$ , với $\epsilon>0$ càng lớn càng tốt ...

combinatorics

— Thomas S
nguồn

Trong thuật ngữ đồ thị: đưa ra một số nguyên

và một đồ thị

với

cạnh, với mỗi đỉnh có độ tối đa là

, tìm

đồ thị con

nơi

, sao cho

, và

p

$p$

G = (V, E)

$G=(V,E)$

m

$m$

q

$q$

p

$p$

G_{1}, G_{2}, \dots, G_{p}

$G_1, G_2, \ldots, G_p$

G_{i} = (V_{i}, E_{i})

$G_i=(V_i, E_i)$

V = ⋃_{i} V_{i}

$V=\bigcup_i V_i$

{E_{i}}_{i}

$\{E_i\}_i$

E

$E$

p

$p$

m / p

$m/p$

v \in V

$v\in V$

k

$k$

(max_{v} | {i : v \in V_{i}} | \leq k)

$(\max_v |\{i : v\in V_i\}| \le k)$

k

$k$

k

$k$

m

$m$

p

$p$

q

$q$

Đúng rồi. Về mặt đồ thị. Câu trả lời cho câu hỏi là: . Thật vậy, như đã viết ở trên, chúng tôi quan tâm đến giới hạn của mẫu và không có bất kỳ ràng buộc nào như vậy cho .

p

$p$

p^{1 - ϵ}

$p^{1-\epsilon}$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

— Thomas S

Một trường hợp đặc biệt để bắt đầu: Đặt là số nguyên lẻ. Có thể phân vùng cạnh của đồ thị hoàn chỉnh thành tập con có kích thước sao cho với mỗi đỉnh, số lượng tập hợp con chứa cạnh xảy ra với đỉnh đó là , đối với một số ? Tôi đặt cược có cho bất kỳ --- lấy tập con đỉnh ngẫu nhiên có kích thước mỗi cái. Sau đó, với xác suất cao, mỗi đỉnh nằm trong khoảng của các tập con đỉnh và mỗi cặp nằm trong khoảng

n \geq 1

$n \ge 1$

(\binom{n}{2})

$n\choose 2$

K_{n}

$K_n$

n

$n$

(n - 1) / 2

$(n-1)/2$

O (n^{1 - ϵ})

$O(n^{1-\epsilon})$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

ϵ < 1 / 2

$\epsilon<1/2$

n

$n$

n^{1 - ϵ}

$n^{1-\epsilon}$

n^{1 - ϵ}

$n^{1-\epsilon}$

(i, j)

$(i,j)$

n^{1 - 2 ϵ}

$n^{1-2\epsilon}$ của các tập hợp con. Giờ hãy gán các cặp cho các tập hợp con ...

— Neal Young

Trong trường hợp này, các nút có thể được phân phối đầu tiên thành bộ kích thước (nghĩ về các khoảng). Sau đó, mỗi thùng nhận được sản phẩm của hai bộ như vậy (Tôi đang xem xét biểu đồ được định hướng hoàn chỉnh, trong đó dễ dàng hơn để phát biểu và không có triệu chứng không khác nhau nhiều). Do đó, mỗi đỉnh xảy ra trong các thùng , nghĩa là, trong trường hợp này.

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

I \times J

$I\times J$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

ϵ = \frac{1}{2}

$\epsilon=\frac{1}{2}$

— Thomas S

Đối với đồ thị sao ( sự cố cạnh với một đỉnh ), đỉnh phải nằm trong mỗi sơ đồ con , do đó, trong trường hợp đó, không thể có ràng buộc nhỏ hơn . Tôi đoán đó là lý do tại sao bạn hạn chế mức độ tối đa ? Có lẽ bạn có thể nói điều gì đó dứt khoát hơn về điều đó, vì dường như đó là một giả định quan trọng. Trong khi đó, tôi để lại một quan sát (không phải là một câu trả lời, nhưng quá lớn để phù hợp như một nhận xét!) Như một câu trả lời dưới đây.

n - 1

$n-1$

r

$r$

r

$r$

p

$p$

p

$p$

q

$q$

— Neal Young

Đây không phải là một câu trả lời. Đó chỉ là một quan sát tầm thường mà WLOG bạn có thể nới lỏng yêu cầu rằng có chính xác các tập con cạnh có cùng kích thước, và thay vào đó chỉ tìm bất kỳ số tập hợp con có kích thước . Có lẽ điều này giúp suy nghĩ về vấn đề. $p$ $\{E_i\}_i$ $O(\textsf{the desired size})$

Khắc phục mọi đồ thị và số nguyên . Đặt $G=(V,E)$ $p\ge 1$ $s=\lceil |E|/p\rceil$

Bổ đề. Giả sử có các sơ đồ con sao cho phân vùng thành (bất kỳ số lượng) phần nào có kích thước . Đặt là số lượng tối đa của các phần mà bất kỳ đỉnh nằm trong. $\{G'_j=(V'_j,E'_j)\}_j$ $\{E'_j\}_j$ $E$ $O(s)$

M = max_{v \in V} | {j : v \in V_{j}^{'}} |

$M = \max_{v\in V} |\{j : v\in V'_j\}|$

Sau đó, có đồ thị con như rằng phân vùng vào chính xác phần mỗi kích thước tối đa là , và $p$ $\{G_i=(V_i,E_i)\}_i$ $\{E_i\}_i$ $E$ $p$ $s=\lceil |E|/p\rceil$

max_{v \in V} | {i : v \in V_{i}} | = O (M) .

$\max_{v\in V} |\{i : v\in V_i\}| = O(M).$

Bằng chứng. Bắt đầu với chuỗi , thay thế từng phần trong chuỗi bằng bất kỳ chuỗi thứ tự nào của các cạnh có trong phần đó. Đặt là chuỗi kết quả (hoán vị của sao cho mỗi phần là một số "khoảng" của các cạnh trong trình tự). Bây giờ phân vùng chuỗi này thành các chuỗi tiếp giáp sao cho mỗi chuỗi ngoại trừ cuối cùng có kích thước và để chứa các cạnh trong chuỗi tiếp theo thứ . (Vì thế $E'_1, E'_2, \ldots, E'_{p'}$ $E'_j$ $e_1, e_2, \ldots, e_m$ $E$ $E'_j$ $\{e_a, e_{a+1}, \ldots, e_b\}$ $p$ $s$ $E_i$ $i$ $E_i = \{e_{i\,s+1}, e_{i\,s+1}, \ldots, e_{(i+1)s}\}$ cho .) $i<p$

Bằng cách giả định mỗi phần có kích thước và theo thiết kế, mỗi phần ngoại trừ phần cuối có kích thước , vì vậy (vì cách xác định ) các cạnh trong bất kỳ phần nào đã cho được chia thành các phần trong . Điều này và giả định rằng mỗi đỉnh xảy ra ở tối đa của các phần trong , ngụ ý rằng mỗi đỉnh xảy ra ở nhiều nhất của các phần trong . QED $E'_j$ $O(s)$ $E_j$ $E_p$ $s$ $\{E_i\}_i$ $E'_j$ $O(1)$ $\{E_i\}_i$ $M$ $\{E'_j\}_j$ $O(M)$ $\{E_i\}_i$

— Neal trẻ
nguồn