Về sự tương ứng của giới thiệu bên trái và loại bỏ hàm ý trong Tính toán tuần tự và trong phần khấu trừ tự nhiên.

Bất cứ ai cũng có thể đưa ra một lời giải thích trực quan ( không cố ý ) về sự tương ứng của giới thiệu bên trái và loại bỏ hàm ý trong Tính toán tuần tự (SC) và Khấu trừ tự nhiên (ND) tương ứng? Tôi biết họ nên đối xứng với SC nhưng tôi không thấy họ tương ứng với nhau như thế nào. Tổng quát hơn, tôi không hiểu làm thế nào giới thiệu trái của một liên kết trong SC thể hiện chính xác việc loại bỏ nó trong ND bằng trực giác.

Trong thuật ngữ tính toán, thuật ngữ tính toán tuần tự là một chuỗi tuần tự của thuật ngữ lambda. Đó là, được xem như là một hệ thống loại, phép tính liên tiếp có thể được xem như đưa ra một thứ tự đánh giá của một thuật ngữ lambda.

Vì vậy, giả sử , và gamma ⊢ e 2 : Một .$\Gamma \vdash e_1 : A \to B$$\Gamma \vdash e_2 : A$

Trong suy luận tự nhiên, thuật ngữ loại bỏ hàm ý là - nghĩa là ứng dụng. Tuy nhiên, lưu ý rằng điều này không cho chúng ta biết nên đánh giá e 1 trước hay e 2 trước.$\Gamma \vdash e_1\;e_2 : B$$e_1$$e_2$

Trong phép tính tuần tự, một phép gán bằng chứng tương ứng phải giống như

$$\mathsf{let}\; f = e_1 \;\mathsf{in}\;\mathsf{let}\;v = e_2\;\mathsf{in}\;\mathsf{let}\; x = f\;v \;\mathsf{in}\;x$$

nếu không nó phải giống như

$$\mathsf{let}\; v = e_2\;\mathsf{in}\;\mathsf{let}\;f = e_1 \;\mathsf{in}\;\mathsf{let}\; x = f\;v \;\mathsf{in}\;x$$

Ở đây, dạng cho phép là thuật ngữ chứng minh tương ứng với việc sử dụng quy tắc cắt và vì tất cả các quy tắc bên trái chỉ hoạt động trên các giả thuyết / biến, điều này buộc chúng ta phải liên kết tất cả các kết quả trung gian với các biến. Yêu cầu này đảm bảo rằng chúng tôi buộc phải nói rõ ràng về hoặc e 2 mà chúng tôi giảm và liên kết với một biến trước tiên.$e_1$$e_2$

Đối với các ngôn ngữ chức năng thuần túy, nhà thám hiểm này không thành vấn đề, nhưng khi bạn thêm hiệu ứng, nó sẽ trở nên dễ dàng hơn để làm việc với các phép tính liên tiếp. Đây là lý do tại sao những thứ như tính toán của hiệu ứng điều khiển / logic cổ điển thường được trình bày tính toán tuần tự.

Tóm lại: trong ND, việc loại bỏ một liên kết cho chúng ta biết cách sử dụng nó:

- - - $A \wedge B$
$---$
$A$

- - - $A \wedge B$
$---$
$B$

là các quy tắc loại bỏ cho kết hợp. Họ nói rằng chúng ta có thể sử dụng để có được một , hoặc để có được B .$A\wedge B$$A$$B$

Tương tự, trong SC:

- - - - - - Γ , Một ∧ B ⊢ $\Gamma,A\vdash \Delta$
$------$
$\Gamma,A\wedge B \vdash \Delta$

- - - - - - Γ , Một ∧ B ⊢ $\Gamma,B\vdash \Delta$
$------$
$\Gamma,A\wedge B \vdash \Delta$

Có gì các quy tắc SC đang nói với chúng tôi là nếu chúng ta "cần" hoặc B , sau đó chúng ta có thể sử dụng Một ∧ B ở vị trí của một hoặc B .$A$$B$$A\wedge B$$A$$B$

Nói chung, SC quy tắc giới thiệu bên trái cho chúng tôi biết "khi nào" chúng tôi có thể sử dụng một liên kết và quy tắc loại bỏ ND cho chúng tôi biết "cách" sử dụng một liên kết.

Bây giờ, để ngụ ý, trong ND chúng ta có:

A - - - - - - $A \rightarrow B$       $A$
$------$
$B$

Trong SC:

$\Gamma \vdash A,\Delta$       $\Sigma,B\vdash \Pi$
$----------$
$\Gamma,\Sigma, A\rightarrow B \vdash \Delta,\Pi$

$\Delta$$\Sigma$

$\Gamma \vdash A$       $B\vdash \Pi$
$-------$
$\Gamma, A\rightarrow B \vdash \Pi$

$\Gamma$$A$$B$$(\Pi)$$A\rightarrow B$$\Pi$