Bất kỳ số siêu việt tính toán nào có thể tính toán được trong thời gian P nhưng không phải là

Có bất kỳ số siêu tính nào được biết đến sao cho chữ số thứ của nó có thể tính được trong thời gian đa thức, nhưng không tính bằng không?$n$$O(n)$

Đây là việc xây dựng một số như vậy. Bạn có thể tranh luận liệu điều này có nghĩa là một số như vậy là "đã biết".

Đi bất kỳ chức năng từ để nơi 'th chữ số không phải là tính toán trong thời gian. Một chức năng như vậy tồn tại, ví dụ, bằng kỹ thuật đường chéo thông thường. Giải thích là 'th chữ số thập phân của một số số thực . Bây giờ, với mỗi của mẫu , , hãy thay đổi các chữ số của ở các vị trí thành 's. Số kết quả hiển nhiên giữ lại thuộc tính mà$f$$\mathbb{N}$$\{ 1, 2, \ldots, 8 \}$$n$$O(n)$$f(n)$$n$$\alpha$$n$$2^{2^k}$$k \geq 1$$\alpha$$n, n+1, \ldots, 3n$$0$$\beta$$n$ 'th chữ số không phải là tính toán trong thời gian, nhưng có vô số xấp xỉ rất tốt bởi rationals, nói với trật tự , có dạng . Sau đó, theo định lý của Roth không thể là đại số. (Nó không hợp lý vì nó có các khối tùy ý được đặt ra bởi các số khác ở cả hai bên.)$O(n)$$O(q^{-3})$$p/q$$\beta$$0$

Tổng quát hơn, đối với bất kỳ hằng số , có các số siêu việt tính được trong thời gian đa thức, nhưng không phải trong thời gian .$k\ge1$$O(n^k)$

Đầu tiên, theo định lý phân cấp thời gian, tồn tại một ngôn ngữ không thể tính toán được trong thời gian . Chúng tôi có thể giả sử và chúng tôi cũng có thể giả sử rằng tất cả các chuỗi có độ dài chia hết cho .$L_0\in\mathrm E$$O(2^{kn})$$L\subseteq\{0,1\}^*$$w\in L$$3$

Thứ hai, hãy để là phiên bản đơn nhất của . Để chắc chắn, với mọi , hãy để biểu thị số nguyên có biểu diễn nhị phân là và đặt . Sau đó , nhưng không thể tính toán được trong thời gian . Hơn nữa, có thuộc tính sau: với mọi , không chứa bất kỳ sao cho .$L_1$$L_0$$w\in\{0,1\}^*$$N(w)$$1w$$L_1=\{a^{N(w)}:w\in L_0\}$$L_1\in\mathrm P$$L_1$$O(n^k)$$L_1$$m$$L_1$$a^n$$2^{3m+1}\le n<2^{3m+3}$

Thứ ba, hãy để (Tôi giả sử ở đây rằng câu hỏi là về số điện toán ở dạng nhị phân. Nếu không, ở trên có thể được thay thế bằng bất kỳ cơ sở mong muốn nào, không thành vấn đề.)

Sau đó, có thể tính toán được trong thời gian đa thức, vì chúng ta có thể tính bit đầu tiên của nó bằng cách kiểm tra xem có trong . Vì lý do tương tự, nó không thể tính toán được trong thời gian , vì bit thứ xác định liệu .$\alpha$$n$$a,a^2,\dots,a^n$$L_1$$O(n^k)$$n$$a^n\in L_1$

Đối với mọi , hãy để và . Sau đó Do đó, có số đo bất hợp lý ít nhất là , do đó nó siêu việt theo định lý của Roth .$m$