Phân cấp thời gian trong DSPACE (O (s (n)))

Định lý phân cấp thời gian nói rằng máy turing có thể giải quyết nhiều vấn đề hơn nếu chúng có (đủ) nhiều thời gian hơn. Liệu nó có giữ theo một cách nào đó nếu không gian bị giới hạn không có triệu chứng? Làm thế nào để liên quan đến nếu phát triển đủ nhanh? $\textrm{DTISP}(g(n), O(s(n)))$ $\textrm{DTISP}(f(n), O(s(n)))$ $\frac{f}{g}$

Tôi đặc biệt quan tâm đến trường hợp , và . $s(n) = n$ $g(n) = n^3$ $f(n) = 2^n$

Cụ thể, tôi đã xem xét ngôn ngữ sau: $L_k := \{ (\langle M \rangle, w) \; : \; \text{M rejects } (\langle M \rangle, w) \text{ using at most } |\langle M \rangle, w|^3 \text{ time steps},$ $k * |\langle M \rangle, w| \text{ cells and four different tape symbols} \}$

Tuy nhiên, có thể được quyết định trong bước bằng cách sử dụng không gian . $L_k$ $n^3$ $(k+1)n \in O(n)$

Không giới hạn $M$ đến bốn ký hiệu băng và do đó cho phép nén các ô $O(n)$ vào $n$ ô, chúng ta gặp vấn đề về không gian khi mô phỏng một $M$ có quá nhiều ký hiệu băng. Trong trường hợp này, ngôn ngữ không còn trong $\text{DSPACE}(O(n))$ nữa. Điều tương tự cũng xảy ra khi đặt $k = h(|w|)$ cho một số $h$ có thể được tính đủ nhanh.

Câu hỏi này về cơ bản là một câu trả lời lại câu hỏi của tôi ở đây .

Chỉnh sửa Tóm tắt: Đã thay đổi $\textrm{DSPACE}(s(n)) \cap \textrm{DTIME}(f(n))$ thành $\textrm{DTISP}(f(n), s(n))$ , tuy nhiên, tôi nghĩ giao lộ cũng đáng để suy nghĩ

— Henning
nguồn

Câu hỏi tuyệt vời !! Cũng khá thú vị khi xem DTISP (g (n), s (n)) so với DTISP (f (n), s (n)) nếu phát triển đủ nhanh. DTISP (g (n), s (n)) đại diện cho các ngôn ngữ có thể được giải quyết bằng một thuật toán duy nhất chạy trong tối đa thời gian g (n) sử dụng không gian s (n) trong khi DTIME (g (n)) DSPACE ( s (n)) đại diện cho các ngôn ngữ có hai thuật toán trong đó một thuật toán chạy trong thời gian g (n) và thuật toán khác chạy trong không gian s (n).

\frac{f}{g}

$\frac{f}{g}$

\cap

$\cap$

— Michael Wehar

Rất tiếc ... Tôi thực sự đã viết D-SPACE (O (s (n))) - TIME (g (n)) trước tiên, nhưng tôi không thích giao diện của MathJax từ nó, vì vậy tôi đã nhanh chóng thay đổi nó đến DSPACE (O (s (n))) ∩ DTIME (g (n)) mà không suy nghĩ nhiều về nó. Câu hỏi ban đầu của tôi là về những gì tôi đã viết đầu tiên, nhưng DSPACE (O (s (n))) DTIME (g (n)) cũng rất thú vị - tôi rất vui vì tôi đã mắc lỗi này. Rõ ràng DTISP (g (n), s (n)) ⊆ DTIME (g (n)) DSPACE (s (n)). Đây có phải là một bao gồm đúng? Theo wikipedia, tính đúng đắn của nó là chưa biết cho DTISP (P, PolyL) ⊆ dtime (P) ∩ thư viện điện tử (PolyL): wikiwand.com/en/SC_(complexity)

— Henning

Mát mẻ!! Cảm ơn sự trình bày rõ ràng của bạn. Tôi thực sự quan tâm đến những vấn đề này. :)

— Michael Wehar

D T I S P (2^{n}, n) = D S P A C E (n)

$DTISP(2^n,n)=DSPACE(n)$ . Vì vậy, trường hợp thứ hai của bạn là tầm thường.

— rus9384

Điều đáng nói là có thể thu được hệ thống phân cấp thời gian cho một khoảng không gian cố định cho các máy Turing có băng cho cố định bằng cách sử dụng các đối số tương tự như Hopcroft-Paul-Valiant và phân cấp thời gian chặt chẽ cho máy -tape. Xem ví dụ WJ Paul. 'Về thứ bậc thời gian' trong STOC'77

k

$k$

k

$k$

k

$k$

— Sam McGuire

Đây là một vấn đề mở: Nó mở cho dù (hoặc thậm chí ). Chúng tôi chỉ biết rằng $\mathrm{DTISP}(O(n \log n),O(n)) = \mathrm{DSPACE}(O(n))$ $\mathrm{NSPACE}(O(n))$ . $\mathrm{DTIME}(O(n))⊆\mathrm{DSPACE}(O(n/\log n))$

Tuy nhiên, theo các phỏng đoán phức tạp tính toán hợp lý, có một hệ thống phân cấp thích hợp. Ví dụ, nếu với mọi , CIRCUIT-SAT ∉ io- , sau đó trong đó , là và là không gian thời gian có thể xây dựng. $ε>0$ $O(2^{n-ε})$ $\mathrm{DTISP}(O(f),O(s(n))) ⊊ \mathrm{DTISP}(O(f^{1+ε}),O(s(n)))$
$f(n)≥n$ $f(n)$ $2^{o(\min(n,s(n)))}$ $f$

Cụ thể (theo giả thuyết), sự tồn tại của một phép gán thỏa mãn cho các mạch có đầu vào và kích thước phục vụ như một ví dụ cho sự bình đẳng của các lớp. $⌊\mathrm{lg}(f^{1+ε/2})⌋$ $(\log f)^{O(1)}$

Ghi chú:

CIRCUIT-SAT ít nhất cũng khó như -SAT (được sử dụng trong giả thuyết thời gian theo cấp số nhân mạnh mẽ). $k$
Theo quy ước, trong CIRCUIT-SAT, là số lượng dây đầu vào; kích thước mạch là . $n$ $n^{O(1)}$
Nếu giả định được sử dụng CIRCUIT-SAT cho kích thước mạch quasilinear, thì giới hạn trên có thể được nới lỏng thành . Ngoài ra, các giả định yếu hơn / mạnh hơn về độ cứng của CIRCUIT-SAT đưa ra hệ thống phân cấp yếu hơn / mạnh hơn (mà hiện tại chúng ta có thể chứng minh). $f(n)$ $O((2-ε)^{\min(n,s(n))})$
io có nghĩa là vô cùng thường xuyên, và có thể được bỏ cho theo một nghĩa nào đó liên tục (bao gồm ). $f$ $f(n)=n^a$
Dường như hệ thống phân cấp DTISP đủ sắc nét để phân biệt với (và có lẽ ) (khi không quá lớn so với không gian được phép). $O(f)$ $o(f/\log f)$ $o(f)$ $f$
Để phân biệt với , chúng ta chỉ cần giả định P ≠ PSPACE yếu hơn. $n^a$ $2^n$

— Dmytro Taranovsky
nguồn