Các giải pháp tối đa của LP

Tất nhiên, lập trình tuyến tính ngày nay được hiểu rất rõ. Chúng tôi có rất nhiều công việc đặc trưng cho cấu trúc của các giải pháp khả thi và cấu trúc của các giải pháp tối ưu. Chúng tôi có tính hai mặt mạnh mẽ, thuật toán đa thời gian, v.v.

Nhưng những gì được biết về các giải pháp tối đa của LP? Hoặc, tương đương, giải pháp tối thiểu tối đa?

. vấn đề cần nghiên cứu, nhưng tôi chỉ tìm thấy một số bài báo lẻ tẻ đề cập đến vấn đề này.)

Để đơn giản, hãy tập trung vào việc đóng gói và bao gồm LP . Trong một LP đóng gói chúng tôi đang cung cấp một không âm ma trận . Một vectơ là khả thi nếu và . Chúng tôi nói rằng là tối đa nếu nó khả thi và chúng tôi không thể tham gia tăng bất kỳ thành phần nào. Nghĩa là, nếu và , thì là không khả thi. Và cuối cùng, là một $A$ $x$ $x \ge 0$ $Ax \le 1$ $x$ $y \ge 0$ $y \ne 0$ $x + y$ $x$ giải pháp tối đa tối thiểu , nếu nó tối thiểu hóa hàm mục tiêu trong số tất cả các giải pháp tối đa. $\sum_i x_i$

(Bạn có thể xác định giải pháp tối thiểu tối đa cho LP che phủ theo cách tương tự.)

Không gian của các giải pháp tối đa tối thiểu trông như thế nào? Làm thế nào chúng ta có thể tìm thấy giải pháp như vậy? Làm thế nào là khó khăn để tìm giải pháp như vậy? Làm thế nào chúng ta có thể ước chừng các giải pháp như vậy? Ai nghiên cứu những thứ như vậy, và thuật ngữ phù hợp cho nó là gì?

Những câu hỏi này ban đầu được thúc đẩy bởi các bộ thống trị cạnh và khớp tối đa tối thiểu . Người ta đã biết (và khá dễ thấy) rằng một kết hợp tối đa tối thiểu là một tập hợp thống trị cạnh tối thiểu; ngược lại, với một tập hợp thống trị cạnh tối thiểu, có thể dễ dàng xây dựng một kết hợp tối đa tối thiểu.

Vì vậy, về bản chất, chúng là cùng một vấn đề. Cả hai vấn đề là NP-hard và APX-hard. Có một thuật toán xấp xỉ 2 tầm thường: bất kỳ kết hợp tối đa nào.

Tuy nhiên, thư giãn LP "tự nhiên" của họ trông rất khác nhau. Nếu bạn xử lý vấn đề thiết lập cạnh và tạo ra sự thư giãn LP tự nhiên, bạn sẽ có được LP bao trùm. Tuy nhiên, nếu bạn gặp vấn đề tìm kiếm một kết hợp tối đa tối thiểu và cố gắng đưa ra một thư giãn LP, thì bạn sẽ nhận được gì? Tất nhiên, các kết quả khớp phân đoạn là các giải pháp khả thi của LP đóng gói; sau đó các đối sánh phân số tối đa là các giải pháp tối đa của các LP như vậy và do đó các đối sánh phân số tối đa tối thiểu là các giải pháp tối đa tối thiểu của các LP đó. :)

— Jukka Suomela
nguồn

Định nghĩa của bạn về mức tối đa là "chúng tôi không thể tham lam tăng bất kỳ thành phần nào" nghe có vẻ giống như Cân bằng Nash. Có một kết nối ẩn với lý thuyết trò chơi ở đây?

— Derrick Stolee

Không phải là nó là trường hợp mà cho mọi giải pháp tối đa

trong bao bì dụ LP,

?. Sau đó, về cơ bản, chúng tôi đang tìm kiếm một giải pháp tối thiểu (tính bằng

-norm) của hệ phương trình tuyến tính.

x^{'}

$x'$

A x^{'} = 1

$Ax'=1$

L_{\infty}

$L_{\infty}$

— Imran Rauf

@Imran: Không, tôi không nghĩ điều này là chính xác. Một giải pháp tối đa (và một giải pháp tối đa) luôn tồn tại, ngay cả khi chúng ta không có giải pháp cho

A x = 1

$Ax = 1$

— Jukka Suomela

Bạn có quen thuộc với các chương trình tuyến tính tắc nghẽn , trong đó khía cạnh minimax là tất cả trong hàm mục tiêu?

— Mike Spivey

Tối đa và tối thiểu: Chúng là loại tối ưu Pareto.
Độ phức tạp: Tôi nghĩ rằng việc tìm kiếm một giải pháp tối đa tối thiểu là NP-hard. Tôi sẽ giảm vấn đề thống trị độc lập (hay còn gọi là vấn đề tập độc lập tối đa tối thiểu) trong các biểu đồ lưỡng cực. Vấn đề này (chính xác hơn là phiên bản quyết định của nó) được gọi là NP-đầy đủ (DG Corneil và Y. Perl, Phân cụm và thống trị trong các biểu đồ hoàn hảo. Toán học ứng dụng rời rạc 9 (1984) 27-39). Do một đồ thị lưỡng cực là hoàn hảo, nên đa giác tập độc lập của nó được xác định bởi các bất đẳng thức clique và số lượng các cụm trong một đồ thị lưỡng cực là đa thức. Do đó, chúng ta có thể viết rõ ràng một hệ thống bất đẳng thức tuyến tính Ax <= 1, x> = 0 cho đa giác tập độc lập. Các giải pháp cực đoan tương ứng với các tập độc lập và các giải pháp cực đại cực đại tương ứng với các tập độc lập tối đa.

— Yoshio Okamoto
nguồn

Bạn có thể thấy hữu ích khi xem xét việc chặn và chống chặn các khối đa diện. Nói rằng bạn có một vấn đề đóng gói. Sau đó, khả thi khu vực của bạn là một đa diện góc trong orthant không âm, và chống chặn nó (cũng là một đa diện góc) về cơ bản là tập hợp các bất bình đẳng xác định . $P$ $A(P)$ $P$

$STAB(G)$ $G$ $G$ $QSTAB(\bar G)$ $> 1$

$P$ $A(P)$

Đáng buồn là tôi đã có một thời gian khó khăn để tìm một lời giải thích minh bạch về công cụ này, nhưng tôi không có nghĩa là một chuyên gia về khối đa diện. Hy vọng bạn sẽ thấy nó có liên quan đến vấn đề trong tay.

— Andrew D. King
nguồn