Đây có phải là nhóm phụ của nhóm đóng gói tích hợp polytope không?

Đặt là một nhóm abelian hữu hạn và để là đa giác trong được xác định là các điểm thỏa mãn các bất đẳng thức sau: $\Gamma$ $P$ $\mathbb{R}^\Gamma$ $x$

\begin{array}{cl} \sum_{g \in G} x_{g} \leq | G | & \forall G \leq Γ \\ x_{g} \geq 0 & \forall g \in Γ \end{array}

$\begin{array}{cl} \sum_{g\in G} x_g \le |G| & \forall G \le \Gamma \\ x_g \ge 0 & \forall g \in \Gamma \end{array}$

Trong đó có nghĩa là là một nhóm con của . Là tích phân ? Nếu vậy, chúng ta có thể mô tả các đỉnh của nó? $G \le \Gamma$ $G$ $\Gamma$ $P$

Câu hỏi của tôi ban đầu nảy sinh với , trong đó một số ví dụ nhỏ ( ) cho thấy câu trả lời là "có" và "có thể, nhưng nó không đơn giản". Tôi cũng đã thử nhóm tuần hoàn trên 9 và 10 phần tử, cũng như , trong đó một lần nữa đa giác là không thể tách rời. Đa giác không thể tách rời khi là bất kỳ , và , do đó, abelian rõ ràng là rất cần thiết. $\Gamma = \mathbb{F}_2^n$ $n = 2,3$ $\mathbb{F}_3^2$ $\Gamma$ $S_3$ $D_4$ $D_5$

Tôi nên đề cập rằng nếu bạn viết tập hợp các phương trình đầu tiên là , thì không nhất thiết phải hoàn toàn không theo phương thức (điều này có nghĩa là đa giác là tích phân). Khi , bạn có thể chọn ba độc lập tuyến tính và lấy ba của mỗi cặp phần tử được chọn . Subatrix kết quả là started cho đến khi hoán vị và do đó có định thức . $Ax \ge b$ $A$ $\Gamma = \mathbb{F}_2^3$ $g$ $G$ $g$

[\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{bmatrix}$

\pm 2

$\pm 2$

Thật dễ dàng (nếu tẻ nhạt) để mô tả các đỉnh cho các nhóm theo thứ tự chính và quan sát rằng chúng là không thể tách rời. Tôi khá chắc chắn rằng điều này có thể được mở rộng cho các nhóm tuần hoàn với một quyền lực chính. Tôi không chắc điều gì xảy ra khi dùng sản phẩm.

Hệ thống này rất dễ nhớ đối với những người xác định polymatroid , nhưng thay vì một hàm tập hợp con, các ràng buộc là một "hàm nhóm con" mà tôi nghi ngờ là "mô đun con" một khi đã được xác định đúng cách. Tuy nhiên, các kỹ thuật để hiển thị một số polymatroid nhất định cũng có thể hoạt động ở đây, nhưng tôi không thấy cách nào.

Ngoài ra, phân tích Fourier có thể có liên quan: khi , có vẻ như các đỉnh tối đa hóa chính xác là điểm có cho tất cả , cũng như các điểm có trong đó là ký tự Fourier -th (theo ký hiệu chuẩn từ phân tích các hàm boolean) và là không trống. (Khi trống, điểm tương ứng là , cũng là một đỉnh.) $\Gamma = \mathbb{F}_2^n$ $\sum_g x_g$ $x_g = 1$ $g$ $x_g = 1 - \chi_S(g)$ $\chi_S$ $S$ $S$ $S$ $x_g = 0$

gr.group-theory fourier-analysis convex-geometry

— Andrew Morgan
nguồn

Câu hỏi thực sự thú vị! Trong trường hợp của , bạn có thể rút được một số dặm ra khỏi phân tích bằng cách lưu ý rằng nhóm tự động hóa hoạt động quá mức trên các yếu tố không nhận dạng (thực tế, theo nghĩa là "quá cảnh ", Trong đó nó gửi bất kỳ n-tuple nào của các phần tử nhóm độc lập tuyến tính đến bất kỳ n-tuple nào khác). Để bắt đầu, bạn có thể giả sử WLOG rằng là lớn nhất trong số các yếu tố không nhận dạng và là lớn thứ hai ...

F_{2}^{n}

$\mathbb{F}_2^n$

x_{1000 \dots 0}

$x_{1000\dotsc 0}$

x_{e_{2}}

$x_{e_2}$

— Joshua Grochow

@JoshuaGrochow Cảm ơn! Tôi không chắc chắn rằng sắp xếp tọa độ là cách để đi, nhưng đối xứng hầu như luôn luôn hữu ích. Một nơi khác để sử dụng chúng là trên các ràng buộc --- sau đó, tự động hóa gửi các nhóm con đến các nhóm con. Một cái gì đó có vẻ hữu ích là, đối với bất kỳ điểm , tính trung bình của nó trên tất cả các biến dạng tự động sửa chữa các ràng buộc chặt chẽ tại . Tôi không biết làm thế nào để làm cho số lượng đó có thể quản lý được.

x

$x$

x

$x$

— Andrew Morgan

Vâng, đây là một câu hỏi rất thú vị và tò mò. (Nếu bạn không ngại chia sẻ) Có động lực để xem xét các đa giác cụ thể này không? Hay chỉ là một cái gì đó đã tình cờ gặp phải?

— John Machacek

F_{2}^{n}

$\mathbb{F}_2^n$

x_{i}

$x_i$

G

$G$

Andrew (người hỏi) và tôi đã thảo luận về vấn đề này qua email và chúng tôi đã chỉ ra phỏng đoán là sai. Đa giác không tách rời đối với các nhóm Abel, thậm chí không phải đối với các nhóm tuần hoàn.

Về mặt tích cực.

$p^kq$ $p$ $q$ $k\in \mathbb{N}$

Điều này là do gia đình của các nhóm nhỏ là một liên minh của hai gia đình laminar.

Do đó, điều này cho thấy mẫu phản ứng nhỏ nhất cho các nhóm tuần hoàn phải có thứ tự ít nhất . Điều này thực sự giải thích tại sao không có mẫu nhỏ được tìm thấy. $2\times 3\times 5 =30$

Andrew đã chạy một số tính toán, và tìm thấy một ví dụ cho nhóm chu kỳ . $30$

Ví dụ : , , , và ở mọi nơi khác. Không khó để kiểm tra điểm có khả thi hay không. Ở đây tôi viết lại bằng chứng của Andrew rằng đây thực sự là một đỉnh. Có ràng buộc chặt chẽ. Toàn bộ ràng buộc nhóm, ba nhóm con được tạo bởi và tương ứng và các ràng buộc không phủ định. Bởi vì chúng ta có biến, là một đỉnh. $x_0=1/2$ $x_2=\frac{30}{2}-\frac{1}{2}=29/2$ $x_3=\frac{30}{3}-\frac{1}{2}=19/2$ $x_5=\frac{30}{5}-\frac{1}{2}=11/2$ $0$ $30$ $2,3$ $5$ $30$ $x$

Người ta có thể tự hỏi nếu đa giác cho là không thể thiếu cho tất cả . Thật không may, Andrew cũng tìm thấy một phần tử không tách rời cho . $\mathbb{F}_2^n$ $n$ $\mathbb{F}_2^4$

— Chao Xu
nguồn