Liệu năm 2017 của Norbert Blum có chứng minh rằng đúng không?

Norbert Blum gần đây đã đăng một bằng chứng dài 38 trang rằng . Nó có đúng không?$P \ne NP$

Ngoài ra về chủ đề: nơi nào khác (trên internet) là tính chính xác của nó đang được thảo luận?

Lưu ý: trọng tâm của văn bản câu hỏi này đã thay đổi theo thời gian. Xem ý kiến ​​câu hỏi để biết chi tiết.

Như đã lưu ý ở đây trước đây, ví dụ của Tardos bác bỏ rõ ràng bằng chứng; nó cung cấp một hàm đơn điệu, đồng ý với CLIQUE trên T0 và T1, nhưng nằm trong P. Điều này sẽ không thể thực hiện được nếu bằng chứng là chính xác, vì bằng chứng cũng áp dụng cho trường hợp này. Tuy nhiên, chúng ta có thể xác định sai lầm? Đây là, từ một bài đăng trên blog của lipton, nơi dường như là nơi chứng minh thất bại:

Lỗi đơn là một điểm tinh tế trong chứng minh Định lý 6, cụ thể là ở Bước 1, trên trang 31 (và cả 33, trong đó trường hợp kép được thảo luận) - một tuyên bố dường như rõ ràng rằng chứa tất cả các mệnh đề tương ứng có trong vv, có vẻ sai. C N F ′ ( g $C'_g$$CNF'(g)$

Để giải thích chi tiết hơn về vấn đề này, chúng ta cần đi sâu vào phương pháp chứng minh và xấp xỉ của Berg và Ulfberg, trong đó đưa ra bằng chứng ban đầu của Razborov về độ phức tạp đơn điệu theo cấp số nhân của CLIQUE về các chuyển đổi DNF / CNF. Đây là cách tôi nhìn thấy nó:

Đối với mỗi nút / cổng của mạch logic (chỉ chứa các cổng OR / AND nhị phân), một dạng bình thường kết hợp , một dạng bình thường phân biệt và các hàm xấp xỉ và là đính kèm. và chỉ đơn giản là các hình thức bình thường phân biệt và kết hợp tương ứng của đầu ra cổng. và cũng là các hình thức phân biệt và kết hợp, nhưng của một số chức năng khác, "xấp xỉ" đầu ra cổng. Tuy nhiên, chúng được yêu cầu có số lượng biến trong mỗi đơn thức choβ C N F ( g ) D N F ( g ) C k g D r g C N F D N F D r g C k g D r g C k $g$$\beta$$CNF(g)$$DNF(g)$$C^k_g$$D^r_g$$CNF$$DNF$$D^r_g$$C^k_g$$D^r_g$(nhỏ hơn một hằng số r) và trong mỗi mệnh đề cho (nhỏ hơn một hằng số k).$C^k_g$

Có một khái niệm về "lỗi" được đưa ra với phép tính gần đúng này. Lỗi này được tính như thế nào? Chúng tôi chỉ quan tâm đến một số tập hợp T0 của các đầu vào trong đó tổng hàm của chúng tôi lấy giá trị 0 và T1 của các đầu vào mà tổng hàm của chúng tôi lấy giá trị 1 (một "lời hứa"). Bây giờ tại mỗi cổng, chúng tôi chỉ xem xét các đầu vào đó từ T0 và T1, được tính toán chính xác (bởi cả và , đại diện cho cùng một chức năng - đầu ra của cổng trong ) ở đầu ra cổng và xem có bao nhiêu lỗi / lỗi đối với vàC N F ( g ) g β C k g D r g C k g D r g C k g C k g D r $DNF(g)$$CNF(g)$$g$$\beta$$C^k_g$$D^r_g$, so với điều đó. Nếu cổng là kết hợp, thì đầu ra cổng có thể tính toán thêm đầu vào từ T0 một cách chính xác (nhưng các đầu vào được tính toán chính xác từ T1 có thể bị giảm). Đối với , được định nghĩa là một kết hợp đơn giản, tuy nhiên không có lỗi mới nào trên tất cả các đầu vào này. Bây giờ, được định nghĩa là công tắc CNF / DNF của , do đó có thể có một số lỗi mới trên T0, xuất phát từ công tắc này. Trên T1 cũng vậy, không có lỗi mới nào trên - mỗi lỗi phải xuất hiện trên một trong hai đầu vào cổng và tương tự trên , công tắc không đưa ra lỗi mới trên T1. Phân tích cho cổng OR là kép.$C^k_g$$D^r_g$$C^k_g$$C^k_g$$D^r_g$

Vì vậy, số lỗi cho các xấp xỉ cuối cùng được giới hạn bởi số lượng cổng trong , nhân với số lỗi tối đa có thể có do công tắc CNF / DNF (đối với T0) hoặc bởi công tắc DNF / CNF (đối với T1). Nhưng tổng số lỗi phải là "lớn" trong ít nhất một trường hợp (T0 hoặc T1), vì đây là thuộc tính của các dạng thông thường kết hợp dương với các mệnh đề giới hạn bởi , đó là cái nhìn sâu sắc chính về bằng chứng ban đầu của Razborov (Bổ đề 5 trong bài báo của Blum).$\beta$$k$

Vậy Blum đã làm gì để đối phó với các tiêu cực (được đẩy đến mức đầu vào, vì vậy mạch vẫn chỉ chứa các cổng OR / AND nhị phân)?$\beta$

Ý tưởng của anh ấy là tạo ra các chuyển đổi CNF / DNF và DNF / CNF một cách hạn chế, chỉ khi tất cả các biến đều dương. Sau đó, các thiết bị chuyển mạch sẽ hoạt động CHÍNH XÁC như trong trường hợp của Berg và Ulfberg, đưa ra cùng một lượng lỗi. Hóa ra đây là trường hợp duy nhất cần được xem xét.

Vì vậy, anh ta đi theo dòng của Berg và Ulfberg, với một vài nét riêng biệt. Thay vì gắn , , và vào mỗi cổng của mạch , anh ta đính kèm các sửa đổi của mình, , , và , tức là các dạng bình thường phân biệt và kết hợp "giảm" mà anh ta xác định khác với vàD N F ( g ) C k g D r g g β C N F ′ ( g ) D N F ′ ( g ) C ′ k g D ′ r g C N F ( g ) D N F ( g ) C ′ r g D ′ $CNF(g)$$DNF(g)$$C^k_g$$D^r_g$$g$$\beta$$CNF'(g)$$DNF'(g)$${C'}^k_g$${D'}^r_g$$CNF(g)$$DNF(g)$bằng "quy tắc hấp thụ", loại bỏ các biến bị phủ định khỏi tất cả các mệnh đề / mệnh đề hỗn hợp (ông cũng sử dụng cho hoạt động mục đích này được ký hiệu là R, loại bỏ hoàn toàn một số mệnh đề / mệnh đề; như chúng ta đã thảo luận trước đây, định nghĩa hơi không chính thức của ông về R không thực sự là vấn đề , R có thể được làm chính xác để nó được áp dụng tại mỗi cổng nhưng những gì bị loại bỏ không chỉ phụ thuộc vào hai đầu vào trước mà còn trên toàn bộ mạch dẫn đến cổng đó) và các xấp xỉ của chúng và , mà anh ấy cũng giới thiệu.${C'}^r_g$${D'}^r_g$

Ông kết luận, trong Định lý 5, đối với hàm đơn điệu, giảm và sẽ thực sự tính 1 và 0 trên các tập hợp T1 và T0, tại nút gốc (đầu ra của nó là đầu ra của toàn bộ hàm trong ). Định lý này là, tôi tin, đúng. D N F ' g 0$CNF'$$DNF'$$g_0$$\beta$

Bây giờ đến việc đếm lỗi. Tôi tin rằng các lỗi tại mỗi nút có nghĩa là được tính bằng cách so sánh giảm và (hiện có thể là hai hàm khác nhau), với và như ông đã định nghĩa chúng. Các định nghĩa về xấp xỉ các định nghĩa vẹt của và (Bước 1) khi trộn các biến với các biến bị phủ định, nhưng khi anh ta xử lý các biến dương, anh ta sử dụng công tắc như trong trường hợp của Berg và Ulfberg (Bước 2). Và thực tế, trong Bước 2, anh ta sẽ giới thiệu cùng một số lỗi có thể xảy ra như trước đây (đó là cùng một công tắc và tất cả các biến liên quan đều dương).D N F ' ( g ) C ' r g D ' k g C N F ' D N F $CNF'(g)$$DNF'(g)$${C'}^r_g$${D'}^k_g$$CNF'$$DNF'$

Nhưng bằng chứng là sai ở Bước 1. Tôi nghĩ Blum đang nhầm lẫn , , điều thực sự đến, như anh ta đã định nghĩa chúng, từ các xấp xỉ trước đó (đối với cổng , ), với các phần tích cực của và . Có một sự khác biệt và do đó, câu lệnh " vẫn chứa tất cả các mệnh đề có trong trước khi gần đúng cổng g sử dụng mệnh đề trong hoặc " sai nói chung.γ 2 h 1 h 2 C N F ′ β ( h 1 ) C N F ′ β ( h 2 ) C ′ g C N F ′ β ( g ) γ ′ 1 γ ′ $\gamma_1$$\gamma_2$$h_1$$h_2$$CNF'_\beta(h_1)$$CNF'_\beta(h_2)$$C_g'$$CNF'_\beta(g)$$\gamma_1'$$\gamma_2'$

Tôi quen thuộc với Alexander Razborov, người mà công việc trước đây cực kỳ quan trọng và đóng vai trò là nền tảng cho bằng chứng của Blum. Tôi đã may mắn gặp anh ấy hôm nay và không lãng phí thời gian để hỏi ý kiến ​​của anh ấy về toàn bộ vấn đề này, về việc anh ấy thậm chí có nhìn thấy bằng chứng hay không và suy nghĩ của anh ấy về điều đó nếu anh ấy làm.

Trước sự ngạc nhiên của tôi, anh ta trả lời rằng anh ta thực sự biết về giấy của Blum nhưng ban đầu không quan tâm đến việc đọc nó. Nhưng khi nổi tiếng hơn, anh ta đã có cơ hội đọc nó và phát hiện ra một lỗ hổng ngay lập tức: cụ thể là những lý do được đưa ra bởi Berg và Ulfberg hoàn toàn phù hợp với chức năng của Tardos, và vì điều này là như vậy, bằng chứng của Blum là nhất thiết không chính xác vì nó mâu thuẫn với cốt lõi của Định lý 6 trong bài viết của mình.

Đây được đăng dưới dạng câu trả lời của cộng đồng vì (a) đó không phải là lời nói của tôi, mà là một trích dẫn từ Luca Trevisan trên nền tảng phương tiện truyền thông xã hội hoặc từ những người khác không có tài khoản CSTheory.SE; và (b) bất cứ ai cũng nên thoải mái cập nhật thông tin này với thông tin liên quan được cập nhật.

Trích dẫn Luca Trevisan từ một bài đăng công khai trên Facebook (14/08/2017), trả lời câu hỏi về bài viết này được hỏi bởi Shachar Lovett :

Hàm của Andreev, được cho là có độ phức tạp siêu đa thức (trừu tượng, sau đó là phần 7), chỉ là phép nội suy đa thức trong một trường hữu hạn, mà nếu tôi không thiếu thứ gì, thì có thể giải quyết được bằng cách loại bỏ Gaussian

Trên thực tế, đây không nhất thiết là một điểm mà bằng chứng thất bại; Luca sau đó đã trả lời như sau (15/08/2017), sau một câu hỏi liên quan đến bình luận của Andrew bên dưới:

Bạn nói đúng, các bạn, tôi đã hiểu sai định nghĩa về chức năng của Andreev: không rõ ràng rằng nó làm giảm phép nội suy đa thức

Karl Wimmer nhận xét về điểm được nêu ra bởi Gustav Nordh (được sao chép lại với sự cho phép của Karl):

Để thêm vào điều này, tôi không hiểu tại sao, từ hai đoạn đầu của bằng chứng Định lý 5, chúng ta có thể kết luận rằng tính . Tôi chỉ thấy một số loại một mặt mà tính toán một hàm sao cho ngụ ý rằng hàm này cũng là 1.f D N F ' ( g 0 ) f = $\mathrm{DNF'}(g_0)$$f$$\mathrm{DNF'}(g_0)$$f = 1$

Đoạn thứ ba cũng không giúp tôi: chắc chắn và công tắc DNF / CNF của nó tính toán cùng một chức năng, nhưng nó không ngay lập tức theo đó công tắc DNF / CNF tính toán (vì có thể không), vì vậy chúng tôi không thể đưa ra bất kỳ kết luận nào về -clauses.f D N F ' ( g 0 ) $\mathrm{DNF'}(g_0)$$f$$\mathrm{DNF'}(g_0)$$f$

(Ngoài ra: tính chất một chiều này phù hợp với ví dụ của Gustav ở trên.)

Từ một quan điểm khác, chắc chắn một máy tính mạng tiêu chuẩn có chức năng đơn điệu có thể tính toán các chức năng không đơn điệu tại các nút bên trong. Định lý 5 không áp dụng cho các hàm không đơn điệu, vì vậy có thể không tính toán chính xác hàm phụ trong mạng có nút đầu ra là (sẽ xảy ra đối với nhiều hàm không đơn điệu). Vì điều này, tôi không tin rằng việc xây dựng quy nạp này cuối cùng sẽ đúng.g D N F ' ( g 0$\mathrm{DNF'}(g)$$g$$\mathrm{DNF'}(g_0)$

Nếu tôi hoàn toàn không có cơ sở ở đây, xin vui lòng cho tôi biết!

Từ một người dùng ẩn danh, phản ứng với quan điểm của Karl:

DNF 'và CNF' chỉ là DNF và CNF cho f, trong đó việc hủy bỏ các chữ ngược lại được thực hiện, do đó giảm chúng xuống dạng ngắn hơn. Điều này cũng được giải thích trong bài báo, và nó hơi cồng kềnh từ định nghĩa nhưng đó là những gì nó được. Định lý 5 không phải là vấn đề, thịt nằm trong Định lý 6.

Và câu trả lời của Karl (mà tôi tái tạo lại ở đây):

Tôi thấy những gì anon đang nói (cảm ơn!); bình luận của tôi đã không giải quyết đúng sự nhầm lẫn của tôi. Nếu là đơn điệu và được tính tại , thì tốt nhất là lấy , áp dụng độ hấp thụ và toán tử và kết quả là đại diện cho . Sử dụng cấu trúc "one-shot" này, Định lý 5 vẫn ổn - theo Định lý 6. Tôi đã nhấn mạnh định nghĩa này vềg 0 D N F ( g 0 ) R D N F ' ( g 0 ) f D N F ' ( g 0$f$$g_0$$\mathrm{DNF}(g_0)$$R$$\mathrm{DNF'}(g_0)$$f$$\mathrm{DNF'}(g_0)$

Những gì tôi không thể thấy là tại sao việc xây dựng ứng dụng-hấp thụ-và- -as-you-go của ở trang 27-28 lại làm điều tương tự. Điều này có vẻ cần thiết để phân tích từng cổng trong Định lý 6 hoạt động, trừ khi lỗi được tính từ công trình này. Ý tôi là, không phải mọi chức năng thậm chí có thể được đại diện bởi một DNF với các thuật ngữ chỉ có nghĩa đen không bị phủ định hoặc bị phủ định, nhưng đối với mỗi nút , dường như luôn có dạng này. Điều gì xảy ra nếu có một nút trong mạng của tôi sao cho không có đại diện như vậy?$R$$\mathrm{DNF'}(g_0)$$g$$\mathrm{DNF'}(g)$$g$$\mathrm{res}(g)$

(Một điểm nhỏ khác (?): Tôi không thấy làm gì trong việc xây dựng cổng khi bạn đi, trong 1.-4., Có vẻ như đã là công trình xây dựng DNF tiêu chuẩn, nhưng với sự hấp thụ và áp dụng )$R$$\alpha$$R$

(câu trả lời từ anon) Tôi đồng ý rằng sự mơ hồ trong định nghĩa của R có thể là một vấn đề trong phần 6. R không được xác định rõ ràng và trừ khi hành động của nó phụ thuộc một cách nào đó vào toàn bộ DNF (chứ không phải vào các giá trị của DNF 'tại các cổng theo cách tự động) , có thể có một vấn đề. Bằng chứng của Deolalikar có vấn đề tương tự - hai định nghĩa khác nhau đã bị nhầm lẫn. Ở đây, ít nhất chúng ta biết ý nghĩa của DNF là gì và nếu đây là nguồn gốc của vấn đề trong phần 6, thì có thể dễ dàng theo dõi. Mặc dù vậy, tôi chưa đi đến phần 6, nó đòi hỏi sự hiểu biết bằng các phép tính gần đúng của Berg và Ulfberg được mô tả trong phần 4, cuối cùng liên quan đến việc xây dựng của Razborov từ năm 1985, điều này không dễ dàng.

Giải thích cách R hoạt động:

Khi R được áp dụng trong một số bước, nó chỉ hủy bỏ các thuật ngữ, TẠI BƯỚC R THNG, sẽ chứa các nghĩa đen (chúng ta có thể cần phải theo dõi các từ tiêu cực). Chẳng hạn, hãy đánh giá là trước tiên, để tính toán DNF 'tại nút AND đầu tiên, chúng ta nhận được trước khi áp dụng R , nhưng sau khi áp dụng R, chúng ta mất đầu tiên từ khung đầu tiên và nhận (trong đó đầu tiên có thể có ảo KHÔNG nếu chúng ta theo dõi nó) . Sau đó áp dụng AND thứ hai, để có được

$$(x\lor y) \land (\lnot x \lor y) \land (x \lor \lnot y)$$ $$((x\lor y) \land (\lnot x \lor y))\land (x \lor \lnot y)$$ $$(x\lor y) \lor ((x\land y)\lor (y\land y))$$ $x$ $$(y) \lor (x\land y)\lor (y),$$ $y$$x$ $$((y) \lor (x\land y)\lor (y)) \lor ((x\land y)\lor (x\land y) \lor (x\land y)),$$ nhưng sau đó R xóa toàn bộ khung đầu tiên vì nó có ảo KHÔNG hiện diện (trong trường hợp này chúng tôi không cần theo dõi các bước trước đó, nhưng có lẽ chúng tôi cần nói chung), để lại hoặc đơn giản( x ∧ y $$((x\land y)\lor (x\land y) \lor (x\land y))$$ $$(x\land y)$$

Tính chính xác của bằng chứng được tuyên bố đang được thảo luận tại blog của Luca Trevisan: https://lucatrevisan.wordpress.com/2017/08/15/on-norbert-blums-claimed-proof-that-p-does-not-equal- np /

Cụ thể "anon" đã đăng bình luận có liên quan sau đây:

"Tardos đã quan sát thấy các đối số của Razborov và Alon-Boppana mang đến một hàm được tính bằng một mạch không đơn sắc có kích thước đa thức (hàm này là một biến thể nhỏ để xấp xỉ hàm Lovasz theta của đồ thị). Nếu các đối số của Berg và Ulfberg cũng vậy. áp dụng cho chức năng của Tardos (có khả năng trực giác, vì bằng chứng của họ dường như dựa trên bằng chứng của Razborov), rõ ràng là tuyên bố hiện tại của Blum không thể chính xác. Thật không may, tác giả không thảo luận về điểm này. "

Trước câu hỏi trực tiếp từ "Mikhail", Alexander Razborov xác nhận điều này (xem bài của Mikhail): những lý do được đưa ra bởi Berg và Ulfberg hoàn toàn phù hợp với chức năng của Tardos, và vì điều này là như vậy, bằng chứng của Blum không nhất thiết là không đúng vì nó mâu thuẫn với hạt nhân của định lý thứ sáu trong bài báo của mình. - A. Razborov

Theo tôi điều này chắc chắn giải quyết được câu hỏi liệu bài báo có đúng hay không (nó KHÔNG đúng!). Cũng cần lưu ý rằng có vẻ khó sửa chữa bằng chứng vì bản thân phương pháp chứng minh có vẻ thiếu sót.

Cập nhật (2017/08/30) Norbert Blum đã đăng bình luận sau trên trang arXiv của mình:

Bằng chứng là sai. Tôi sẽ giải thích chính xác những gì sai lầm là. Để làm điều này, tôi cần một chút thời gian. Tôi sẽ đặt lời giải thích trên trang chủ của tôi

Gustav Nordh bình luận bởi Định lý 5 (trang 29). Cụ thể là chức năng

tính toán hàm số chỉ khi và đều là , do đó nó là đơn điệu. Biểu thức trên cho hàm đại diện cho một "mạng tiêu chuẩn" (trong đó các phủ định duy nhất là một chữ) có các nút tương ứng với các chữ và , các phủ định của chúng và mỗi biểu thức nhị phân. Giả sử nút đầu ra của mạng được gọi là .$1$$x$$y$$1$$\beta$$x$$y$$\beta$$g_0$

Bài báo Blum tạo ra một dạng bình thường phân biệt mới từ , có vẻ như là$DNF'_{\beta}(g_0)$$\beta$

Bây giờ, theo Định lý 5, mỗi đơn thức trong là một hàm ý của . Nhưng một trong các đơn thức trong là , không phải là hàm ý của (vì không ngụ ý ), mâu thuẫn với Định lý. Tuy nhiên, như đã nêu trong các ý kiến do Gustav Nordh và giải thích chi tiết bởi idolvon, sự khác biệt rõ ràng điều này được giải quyết bằng cách giải thích phù hợp và mở rộng của thuật ngữ "bắt nguồn" trong định nghĩa của các nhà điều hành giảm .$DNF'_{\beta}(g_0)$$f$$DNF'_{\beta}(g_0)$$x$$f$$x=1$$f(x,y)=1$$R$

Người ta có thể sử dụng giải mã danh sách mã Reed-Solomon để hiển thị hàm POLY của Andreev ở dạng P, tương tự như cách Sivakumar đã làm trong bài viết so sánh thành viên của mình không? Hoặc là hàm POLY được biết là NP-đầy đủ?

Anh ấy đã cập nhật arXiv của mình để nói rằng bằng chứng của anh ấy là không chính xác:

Bằng chứng là sai. Tôi sẽ giải thích chính xác những gì sai lầm là. Để làm điều này, tôi cần một chút thời gian. Tôi sẽ đặt lời giải thích trên trang chủ của tôi.

Blog của Lipton và Regan ở đây có một cuộc thảo luận cấp cao tốt đẹp với một nhận xét thú vị về cấu trúc bằng chứng.

Họ cũng chỉ ra phả hệ của Blum là đã chứng minh được giới hạn thấp hơn về độ phức tạp mạch Boolean tồn tại hơn 30 năm. Tất nhiên đây chỉ là "thông tin phụ" vì các chuyên gia đã nghiêm túc nghiên cứu bằng chứng.

Ngoài ra, tại đây: https://www.quora.com/Whats-the-status-of-Norbert-Blums-claim-that-operatorname-P-neq-operatorname-NP

Trích dẫn Alon Amit:

(ý kiến ​​cá nhân, ngày 14 tháng 8, vào cuối ngày): Tôi không nghĩ rằng bài báo này sẽ đứng lên để xem xét. Một định lý sâu sắc đã được nghiên cứu ồ ạt như P ≠ NP, trong nhiều khả năng, sẽ được giải quyết bằng các kỹ thuật mới sâu rộng và sâu rộng. Không phải là không thể giải quyết được bằng một sự tăng cường nhẹ của các phương thức đã biết, hiện có, nhưng nó chỉ là rất, rất, rất khó xảy ra.

Không chắc là chính xác vì lý do sau: phương pháp gần đúng là đủ để mọi giới hạn dưới có thể được chứng minh bằng cách sử dụng chúng. Đây là kết quả do Razborov. Tại sao nó là một vấn đề? Bởi vì nó có nghĩa là phương pháp gần đúng sẽ không phải là tiến bộ chính, nó có thể diễn tả bất cứ điều gì, thịt sẽ ở một nơi khác. Dường như không có thịt như vậy trong bài báo, điều đó cho thấy rất có thể tác giả đang mắc một lỗi tinh vi, loại sai lầm được che giấu khỏi mắt nhưng về cơ bản là một giả định ngụ ý câu trả lời. Đối với những người không phải là nhà lý thuyết phức tạp: đây là một thử nghiệm mùi rất tốt, nó có thể đúng như yêu cầu của ai đó để chế tạo tên lửa tại tầng hầm của mình để du hành lên mặt trăng trong một tuần.

Vậy đâu là sai lầm tinh tế? Trên blog của Trevisan có một bình luận của Lovett cho thấy giả định ẩn đó có thể là gì trong định lý 6.

$NP-c$$P$

$C$$f$$f$$C$$m$

Hàm boolean chỉ có một bảng chân lý nhưng không có biểu thức đại số duy nhất, không một vấn đề nào chỉ có một hàm boolean giải quyết nó.

Một số (có thể là tất cả) các hàm là đẳng cấu (các vấn đề không xảy ra).

$NP=P$$m$$m$f $f$$f$$f$