Tổng quan cấp cao về phương pháp gần đúng của Razborov

Phương pháp gần đúng của Razborov là gì? Ai đó có thể đưa ra một cái nhìn tổng quan cấp cao và trực giác đằng sau nó?

Đặt là hàm Boolean trên n- bit. Hãy Z = f - 1 ( 0 ) ⊆ 2 n . Đặt C là mạch trên n bit và có kích thước m và cổng g 1 , Rô , g m . g i cũng biểu thị hàm trên n- bit được tính bằng subcircuit với g i là cổng cuối cùng. Đầu tiên n cổng là dành cho các đầu vào x 1 , ... , x $f$$n$$Z = f^{-1}(0) \subseteq 2^n$$C$$m$$g_1, \ldots, g_m$$g_i$$n$$g_i$$n$$x_1, \ldots, x_n$. Mục tiêu là chỉ ra rằng có kích thước m không thể tính f . Hãy xem xét tất cả các tính toán của C trên đầu vào từ Z . Một tính toán gán giá trị cho đầu ra của cổng. Gọi B là đại số Boolean của P ( Z ) .$C$$m$$f$$C$$Z$$B$$P(Z)$

Ý tưởng là xem xét cho bất kỳ hàm trên n -bits nó xấp xỉ f trên Z như thế nào . Hãy để | | g | | = { W ∈ Z | g ( w ) ≠ 0 } .$g$$n$$f$$Z$$||g|| = \{w \in Z \mid g(w) \neq 0 \}$

Đối với một siêu lọc chúng ta có thể định nghĩa một tính toán mới bằng siêu sản phẩm từ nó: c ( g i ) = 0 iff | | g i | | ∉ F . Bởi vì bộ siêu lọc về cơ bản là một tập hợp các tính toán nhất quán cho 0 giá trị, kết quả c là một tính toán hợp lệ. Nó sẽ theo f ( c 1 , Vay , c n ) = 0 . Chúng tôi tạo ra một tính toán mới từ những cái hiện có. Vì tất cả các bộ siêu lọc trên các tập hữu hạn là chính $F \subseteq B$$c(g_i) = 0$$||g_i|| \not\in F$$c$$f(c_1, \ldots, c_n) = 0$ . Điều này hoạt động cho bất kỳ mạch, chúng tôi đã không khai thác thực tế là mạch có kích thước m .$c_1,\ldots,c_n \in Z$$m$

Ý tưởng tiếp theo bây giờ là khai thác độ chính xác của mạch để xây dựng đầu vào mới nằm ngoài và f ( w ) ≠ 0 nhưng mạch không chú ý vì kích thước hạn chế của nó và do đó vẫn xuất ra 0. Vì vậy, nó không tính toán f .$Z$$f(w) \neq 0$$f$

Chúng ta cần phải thư giãn các định nghĩa về siêu lọc để chúng tôi có thể nhận được một bên ngoài đầu vào . Thay vì ultrafilters chúng tôi sử dụng các tập con trở lên kín của B ( một ∈ F và một ⊆ b ngụ ý b ∈ F ) mà duy trì đáp ứng ( một , b ∈ F ngụ ý một ∩ b ∈ F ).$Z$$B$$a \in F$$a \subseteq b$$b \in F$$a,b \in F$$a \cap b \in F$

Hãy . W F là tập hợp các nguyên liệu đầu vào phù hợp với F . Nếu F là số nguyên tố ( một ∪ b ∈ F ngụ ý một ∈ $W_F = \{w \in 2^n \mid w_i = 0 \to ||\lnot x_i|| \in F, w_i \neq 0 \to ||x_i|| \in F\}$$W_F$$F$$F$$a \cup b \in F$$a \in F$hoặc ) và nonfull ( ∅ ∉ F ) sau đó cho mỗi i , F chứa một trong hai | | x i | | hoặc | | ¬ x i | | và W F chỉ chứa một đầu vào duy nhất.$b \in F$$\emptyset \not\in F$$i$$F$$||x_i||$$||\lnot x_i||$$W_F$

Chúng tôi sẽ thư giãn bảo tồn các cuộc họp. Thay cho tất cả các cuộc họp trong đại số Boolean, chúng tôi sẽ bảo tồn một số lượng nhỏ chúng. Hãy để là số nhỏ nhất k của đáp ứng M = ( một 1 ∩ b 1 , ... , một k ∩ b k ) như vậy mà cho tất cả trở lên kín, nonfull, M -preserving F , W F ⊆ Z .$|f|$$k$$M = (a_1 \cap b_1, \ldots, a_k \cap b_k)$$M$$F$$W_F \subseteq Z$

Gọi là độ phức tạp của f . Razborov đã chứng minh rằng $m$$f$.$\frac{1}{2}|f| \leq m \leq O(|f|^3 + n^3)$

Lưu ý rằng bất đẳng thức này giữ cho tất cả các chức năng. Để chứng minh một kích thước mạch giảm bound cho thấy rằng đối với tất cả m -meets M , có một F thỏa mãn các điều kiện nhưng nó W F không được chứa trong Z . Hơn nữa, bất kỳ mạch mạnh nào giới hạn dưới có thể được chứng minh bằng phương pháp này vì bất đẳng thức thứ hai.$m$$m$$M$$F$$W_F$$Z$

Phần thực tế của một bằng chứng ràng buộc thấp hơn của mạch là để chỉ ra rằng với cho, đối với bất kỳ m- mets nào đều có F như vậy . Trong trường hợp mạch đơn điệu, điều kiện về W F đơn giản hóa thành w i ≠ 0 → | | x i | | ∈ F để đến với F là dễ dàng hơn.$m$$m$$F$$W_F$$w_i \neq 0 \to ||x_i|| \in F$$F$

Alexander Razborov, Về phương pháp gần đúng, 1989. pdf

Mauricio Karchmer, về việc chứng minh giới hạn dưới cho kích thước mạch, 1995.

Tim Gowers, phương pháp gần đúng của Razborov, 2009. pdf

Tuyên bố miễn trừ trách nhiệm : Đây chỉ là một tổng quan cấp cao nhằm cung cấp một số trực giác cho các phương pháp được sử dụng trong bài báo gần đây của Blum.

Tôi sẽ cố gắng sử dụng ký hiệu gần với những gì được sử dụng trong bài báo nói trên.

Đặt là hàm Boolean trên n biến x 1 , Mạnh , x n . Giả sử chúng tôi muốn chứng minh rằng bất kỳ máy tính mạng Boolean f nào đều có kích thước lớn.$f$$n$$x_1,\dots,x_n$$f$

Đưa ra một số mạng Boolean tính toán f tại nút đầu ra của nó, hãy xem xét quá trình sau đây.$\beta$$f$

1. Sắp xếp các cửa trong theo một số thứ tự topo g 1 , g 2 , ... , g m nơi nút cuối cùng là nút đầu ra.$\beta$$g_1,g_2,\dots,g_m$
2. Đối với mỗi bước thời gian chúng tôi sẽ xấp xỉ các chức năng tính toán ở cổng g t bởi một “đơn giản” chức năng f g t . Phép tính gần đúng này có thể thay đổi các hàm được tính toán tại các nút hạ lưu của g t (đặc biệt, hàm tại nút đầu ra g m có thể đã thay đổi).$t=1,\dots,m$$g_t$$f_{g_t}$$g_t$$g_m$

Khi kết thúc quá trình này, chúng ta sẽ có xấp xỉ hàm được tính tại bởi một hàm đơn giản f g m .$g_m$$f_{g_m}$

Tiếp theo xây dựng một nhóm các đầu vào kiểm tra .$T\subseteq \{0,1\}^n$

Giả sử chúng ta có thể chứng minh các tuyên bố sau:

• Giá trị gần đúng của từng nút riêng lẻ là tốt (nghĩa là, hầu hết các lỗi được đưa vào các đầu vào từ T ở mỗi bước xấp xỉ).$e$$T$
• Không xấp xỉ hàm đơn giản tốt (ví dụ, đối với bất kỳ chức năng đơn giản f g m , chúng tôi có f g m ≠ f trên hơn một d -fraction của T ).$f$$f_{g_m}$$f_{g_m}\neq f$$d$$T$

Sau đó, bằng cách đơn giản đếm số lượng các lỗi chúng tôi nhận được rằng phải có ít nhất d | T $\beta$cổng điện tử .$\tfrac{d\lvert T\rvert}{e}$

Nếu chương trình xấp xỉ này có thể được chứng minh là làm việc cho bất kỳ mạng tính chức năng f , sau đó chúng tôi đi đến một giới hạn thấp hơn cho sự phức tạp mạch của f .$\beta$$f$$f$