Các vấn đề trung gian NP với các giải pháp lượng tử hiệu quả

Peter Shor đã chỉ ra rằng hai trong số các vấn đề trung gian NP quan trọng nhất, bao thanh toán và vấn đề nhật ký rời rạc, nằm trong BQP. Ngược lại, thuật toán lượng tử được biết đến nhiều nhất cho SAT (tìm kiếm của Grover) chỉ mang lại sự cải tiến bậc hai so với thuật toán cổ điển, gợi ý rằng các vấn đề hoàn chỉnh NP vẫn có thể gây ra trên máy tính lượng tử. Như Arora và Barak chỉ ra, BQP cũng có một vấn đề không được biết đến trong NP, dẫn đến phỏng đoán rằng hai lớp không thể so sánh được.

Có bất kỳ kiến ​​thức / phỏng đoán nào về lý do tại sao các vấn đề trung gian NP này có trong BQP không, nhưng tại sao SAT (theo như chúng ta biết) thì không? Các vấn đề trung gian NP khác có theo xu hướng này không? Cụ thể, là đẳng cấu đồ thị trong BQP? (cái này không google tốt).

Đồ thị đẳng cấu không được biết là có trong BQP. Đã có rất nhiều công việc được thực hiện khi cố gắng đưa nó vào. Một quan sát rất hấp dẫn là sự đồng hình hóa đồ thị có thể được giải quyết nếu máy tính lượng tử có thể giải quyết vấn đề nhóm ẩn không abelian cho nhóm đối xứng (bao thanh toán và nhật ký rời rạc được giải quyết bằng sử dụng bài toán nhóm ẩn abelian, lần lượt được giải quyết bằng cách áp dụng biến đổi Fourier lượng tử trên các nhóm abelian).

Một trong những cách mà mọi người đã cố gắng giải quyết sự đẳng cấu đồ thị là bằng cách áp dụng biến đổi Fourier lượng tử cho các nhóm không abelian. Có các thuật toán cho phép biến đổi Fourier lượng tử cho nhiều nhóm không abelian, bao gồm cả nhóm đối xứng. Thật không may, dường như không thể sử dụng biến đổi Fourier lượng tử cho nhóm đối xứng để giải quyết biểu đồ đẳng cấu; đã có khá nhiều bài báo viết về điều này cho thấy nó không hoạt động, đưa ra các giả định khác nhau về cấu trúc của thuật toán. Những giấy tờ có lẽ là những gì bạn tìm thấy khi bạn google.

Câu trả lời trong dân gian là bao thanh toán được "cấu trúc" theo cách mà các vấn đề hoàn thành NP nói chung không có, và đây là lý do tại sao chúng ta chỉ có thể tìm thấy lợi thế lượng tử cho các vấn đề trung gian.

Có thể cho rằng một phiên bản đơn giản hơn của câu hỏi của bạn là không nhìn vào độ phức tạp tính toán, mà là độ phức tạp truy vấn của các hàm boolean. Ở đây chúng ta có thể nói một số điều có thể chứng minh được, chẳng hạn như việc tăng tốc siêu đa thức chỉ có thể cho hàm một phần (đã được chứng minh trong http://arxiv.org/abs/quant-ph/9802049 ) và không phải cho các hàm đối xứng trong đầu vào của chúng và kết quả đầu ra (đã được chứng minh trong http://arxiv.org/abs/0911.0996 ).

Những kết quả này không trực tiếp làm sáng tỏ câu hỏi BQP so với NP, nhưng tôi có nghĩ rằng các bước có ý nghĩa hướng tới việc xác định nơi nào có lợi thế lượng tử.